معجم الرياضيات توجيهي: مصطلحات

يقلّ عرض المستطيلات فيقلّ خطأ التقريب ويقترب مجموع ريمان من المساحة الحقيقية تحت المنحنى.

يقلب الإشارة: \intab f\,dx=-\intba f\,dx.

x3+x2+c.

نختار u=x2+1، du=2x\,dx؛ فيصبح u3\,du=(u4)/(4)+c=((x2+1)4)/(4)+c.

F(x)=- x؛ F()-F(0)=-+ 0=1+1=2.

u=3x، du=3dx؛ (1)/(3) u\,du=(1)/(3) 3x+c.

صورة ()/()؛ بلوبيتال (1/x)/(1)=0.

صورة (0)/(0)؛ ( x)/(1)= 0=1.

3A=pmatrix3&6\\0&-3pmatrix (ضرب كل عنصر في 3).

يتقاطعان عند x=0,1، وx≥ x2 بينهما؛ A=\int01 (x-x2)\,dx=[(x2)/(2)-(x3)/(3)]01=(1)/(2)-(1)/(3)=(1)/(6).

(f(3)-f(1))/(3-1)=(9-1)/(2)=4.

=3\times4-1\times2=12-2=10.

=2\times1-1\times1=1؛ فالنظير (1)/(1)pmatrix1&-1\\-1&2pmatrix=pmatrix1&-1\\-1&2pmatrix.

لا، لأن المصفوفة شاذة لا نظير لها؛ ويُلجأ لطرق أخرى وقد يكون للنظام حلول لا نهائية أو لا حل.

بخاصية الجمع: 5+3=8.

-7 (قلب الحدود يقلب الإشارة).

f'(x)=12x3-10x.

f'(x)=2x x+x2 x (بقاعدة الضرب).

xi=( Ai)/( A) حيث A_i مصفوفة المعاملات بعد استبدال عمودها i بمتجه الثوابت B.

تحويل التكامل إلى متغير جديد u=g(x) بحيث يصبح f(g(x))g'(x)\,dx= f(u)\,du أبسط للحل.

إذا تغيّرت إشارة f' من موجبة إلى سالبة عند النقطة فهي قيمة عظمى، ومن سالبة إلى موجبة فهي صغرى.

إذا f'(c)=0 وf''(c)<0 فالنقطة عظمى محلية، وإذا f''(c)>0 فهي صغرى محلية.

xn\,dx=x^n+1n+1+c، بشرط n-1.

عملية اشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة لـ x مع اعتبار y اقتراناً قابلاً للاشتقاق بالنسبة لـ x.

تقسيم [a,b] إلى n فترات جزئية؛ وعرض كل فترة منتظمة Δ x=(b-a)/(n).

عدد مركب w يحقق w2 = z، ولكل عدد مركب جذران تربيعيان كل منهما نظير جمعي للآخر.

إذا G(x)=\int_ax f(t)\,dt فإن G'(x)=f(x).

\int_ab f(x)\,dx=F(b)-F(a)، حيث F اقتران أصلي لـf.

حل ينتج من العمليات الجبرية (مثل التربيع) ولكنه لا يحقق العلاقة الأصلية.

قياس الزاوية للعدد المركب بالراديان بحيث تقع في الفترة (-, ].

عدد يكتب على الصورة a + ib؛ حيث a هو الجزء الحقيقي و b هو الجزء التخيلي.

معادلة تربط بين x و y بحيث لا يمكن (أو يصعب) فصل y في طرف واحد كاقتران صريح.

لا يوجد نظير ضربي إلا إذا كان المحدّد لا يساوي صفراً ( A\ne0)؛ ويظهر المحدّد في مقام صيغة النظير.

العنصر الواقع في الصف الثاني والعمود الأول.

متوسط التغير معدل التغير على فترة (ميل القاطع)؛ والتغير اللحظي هو المشتقة عند نقطة (ميل المماس)، وهو نهاية متوسط التغير عندما تؤول الفترة للصفر.

المتغير (غالباً t) الذي يربط بين الإحداثيين السيني والصادي في المعادلات الوسيطية.

المشتقة الثانية مشتقة الأولى، والثالثة مشتقة الثانية، وهكذا حتى الرتبة المطلوبة.

المربعة عدد صفوفها يساوي عدد أعمدتها؛ ومصفوفة الوحدة I مربعة قطرها الرئيس آحاد وبقية عناصرها أصفار.

المصفوفة الناتجة من تبديل صفوف A بأعمدتها؛ فالعنصر aij يصبح في الموضع aji.

ترتيب مستطيل للأعداد في صفوف وأعمدة؛ ورتبتها m× n حيث m عدد الصفوف وn عدد الأعمدة.

تمثيل للمنحنى يعبر عن كل من x و y كاقترانات لمتغير مستقل ثالث يسمى الوسيط (Parameter).

وجود نقطة على المنحنى يكون مماسها موازياً للقاطع الواصل بين طرفي الفترة (ميل المماس = ميل القاطع).

تنص على وجود جذر مركب واحد على الأقل لأي معادلة كثير حدود درجتها أكبر من الصفر.

مصفوفة A^-1 تحقّق AA^-1=A^-1A=I؛ ولا يوجد إلا إذا كان محدّد المصفوفة لا يساوي صفراً.

نقطة في مجال الاقتران تكون عندها f'(x)=0 أو غير موجودة؛ وعندها قد يحدث تغيّر في سلوك الاقتران.

الرمز i الذي يُعرف بأنه الجذر التربيعي للعدد -1، ويحقق العلاقة i2 = -1.

بالجزء الأول من النظرية: = x.

f'(x)=2x-6=0 → x=3؛ وf''(x)=2>0 فهي صغرى، قيمتها f(3)=-4.

f'(x)=2x، فالميل عند x=3 هو 6.

pmatrix2&1\\1&1pmatrixpmatrix1&-1\\-1&2pmatrix=pmatrix1&0\\0&1pmatrix=I ✓.

f'(x)=\to0(f(x+h)-f(x))/(h).

v(t)= 6t\,dt=3t2+c؛ ومن v(0)=2 نجد c=2، فـv(t)=3t2+2.

f''(x)=6x: مقعّر لأسفل على (-,0) ولأعلى على (0,)، ونقطة الانعطاف عند x=0 (تتغيّر إشارة f'').

f'(x)=2x-4=0 → x=2؛ متناقص على (-,2) (f'<0) ومتزايد على (2,) (f'>0).

A=vmatrix2&1\\1&1vmatrix=1؛ x=vmatrix5&1\\3&1vmatrix1=2، y=vmatrix2&5\\1&3vmatrix1=1.

\intab f+\intbc f=\int_ac f.

(af+bg)\,dx=a f\,dx+b g\,dx.

\intab (kf+g)\,dx=k\intab f\,dx+\int_ab g\,dx.

اختر u (غالباً الاقتران الداخلي)، احسب du=g'(x)dx، عوّض لتبسيط التكامل، كامِل، ثم أعِد التعويض إلى x.

بدّل عنصري القطر الرئيس، اعكس إشارة عنصري القطر الثانوي، ثم اقسم كل العناصر على المحدّد ad-bc.

أوجد f''(x)، حُلّ f''(x)=0، ثم تحقّق من تغيّر إشارة f'' عند كل جذر.

أوجد f'(x)، حُلّ f'(x)=0 لإيجاد النقاط الحرجة، ثم ادرس إشارة f' على الفترات بينها.

عرّف المتغيرات وارسم، اكتب الكمية المراد تحسينها كاقتران في متغير واحد بمساعدة القيد، اشتق وساوِ المشتقة بصفر، ثم تحقّق أنها القيمة المطلوبة.

يحدّد قيمة ثابت التكامل c، فيختار من عائلة الأصول الاقتران الموافق للحالة المطروحة.

يربط المتغيرات ليتيح كتابة الكمية المراد تحسينها بدلالة متغير واحد فقط قبل الاشتقاق.

s(t)= 4t\,dt=2t2+c؛ ومن s(0)=5 نجد c=5، فـs(t)=2t2+5.

أن تكونا متساويتي الرتبة؛ ويتم بجمع العناصر المتناظرة كلٌّ مع نظيره.

أن يساوي عدد أعمدة الأولى عدد صفوف الثانية؛ ورتبة الناتج (عدد صفوف الأولى × عدد أعمدة الثانية).

A=\int_ab [f(x)-g(x)]\,dx، حيث f الأعلى وg الأسفل على الفترة.

\intt1^t2|v(t)|\,dt (القيمة المطلقة لتجنّب طرح المسافات في الاتجاهين).

V=\int_ab [f(x)]2\,dx.

(f(b)-f(a))/(b-a)، ويساوي ميل القاطع بين النقطتين.

=1^n f(x_i)\,Δ x، وهو مجموع مساحات المستطيلات تحت المنحنى.

A^-1=(1)/(ad-bc)pmatrixd&-b\\-c&apmatrix لمصفوفة pmatrixa&b\&dpmatrix.

\int_ab f(x)\,dx عدد يمثّل المساحة المُوقَّعة بين منحنى f ومحور السينات من a إلى b، وهو نهاية مجموع ريمان.

f(x)\,dx=F(x)+c حيث F اقتران أصلي مشتقته F'(x)=f(x)، وc ثابت التكامل.

أكبر أو أصغر قيمة للاقتران في جوار نقطة؛ تحدث عند نقطة حرجة يكون عندها f'(x)=0 أو غير موجودة.

v(t)= a(t)\,dt وs(t)= v(t)\,dt، مع تحديد الثوابت من القيم الابتدائية.

السرعة مشتقة الموضع v=s'(t)، والتسارع مشتقة السرعة a=v'(t)=s''(t).

مساحة السطح (لتقليل المادة المستخدمة)؛ تُكتب بدلالة طول الضلع باستعمال قيد ثبات الحجم ثم تُشتق.

لأن محدّدها صفر، والقسمة على المحدّد في صيغة النظير تصبح غير معرّفة.

لأن طريقة الضرب (صف في عمود) تعطي نتيجة تعتمد على ترتيب المصفوفتين؛ فقد يختلف AB عن BA، وقد يكون أحدهما غير معرّف.

A=pmatrix2&1\\1&1pmatrix، X=pmatrixx\pmatrix، B=pmatrix5\\3pmatrix.

2\times3=6 عناصر.

(d)/(dx)xn=nx^n-1، ومشتقة الثابت تساوي صفراً.

((f)/(g))'=(f'g-fg')/(g2).

(fg)'=f'g+fg'.

قاعدة لإيجاد مشتقة الاقتران المركب، وتساوي مشتقة الاقتران الخارجي مضروبة في مشتقة الاقتران الداخلي.

((ق)/(هـ))'=(ق'هـ−قه')/(هـ2)، مع هـ≠0.

vmatrixa&b\&dvmatrix=ad-bc.

حالة خاصة من قاعدة السلسلة لاشتقاق [g(x)]n، وتساوي n[g(x)]^n-1 × g'(x).

إذا كانت (f)/(g) صورة غير معيّنة (0)/(0) أو ()/() فإن (f)/(g)=(f')/(g').

صفر، لأن فترة التكامل منعدمة الطول.

باختبار المشتقة الثانية (f''<0 ← عظمى) أو بدراسة تغيّر إشارة المشتقة الأولى حول النقطة.

احسب قيم الاقتران عند النقاط الحرجة الداخلية وعند الطرفين a وb، ثم قارنها لتحديد أكبرها (العظمى المطلقة) وأصغرها (الصغرى المطلقة).

بإيجاد نقاط تقاطع المنحنيين (حلّ f(x)=g(x))، فتكون إحداثياتها السينية حدّي التكامل.

نختار الاقتران الداخلي الذي تظهر مشتقته (أو مضاعفها) كعامل في التكامل.

رول حالة خاصة من القيمة المتوسطة عندما f(a)=f(b)؛ فيصبح ميل القاطع صفراً ويوجد c حيث f'(c)=0.

نكامل معدل التغير f'(x) لإيجاد f(x)+c، ثم نحدّد c من شرط ابتدائي معطى.

إذا كان f'(x)>0 فالاقتران متزايد؛ وإذا كان f'(x)<0 فهو متناقص على تلك الفترة.

إذا كان f''(x)>0 فالمنحنى مقعّر لأعلى، وإذا كان f''(x)<0 فهو مقعّر لأسفل.

مجموع حواصل ضرب عناصر الصف i من المصفوفة الأولى في عناصر العمود j من الثانية، كلٌّ مع نظيره.

بالنشر على أحد الصفوف أو الأعمدة باستخدام المرافقات وإشاراتها المتبادلة (+,-,+)، أو بقاعدة ساروس.

التكامل المحدود هو نهاية مجموع ريمان عندما n→: \intab f\,dx=→Σ f(xi)Δ x.

بتصغير طول الفترة؛ فعندما يؤول h\to0 يصبح القاطع مماساً ويصبح متوسط التغير مساوياً للمشتقة.

متصل وقابل للاشتقاق، وf(0)=0=f(4)؛ فتنطبق رول، وf'(c)=2c-4=0 يعطي c=2.

f'(c)=2c=(4-0)/(2-0)=2، فيكون c=1.

f'(x)=3x2-3=0 → x=\pm1؛ f''(x)=6x: عند x=1 موجبة ← صغرى، وعند x=-1 سالبة ← عظمى.

نعم، لأن f'(x)=3x2\ge0 دائماً (وصفر عند نقطة واحدة فقط)، فهو متزايد على كل الأعداد الحقيقية.

لا، لأن f''(x)=12x2\ge0 لا تتغيّر إشارته عند x=0، فالمنحنى مقعّر لأعلى دائماً.

Δ x=(4-0)/(4)=1.

a(t)=6t-12، فعند t=2: a=0.

لأنها تربط مفهومي المساحة (التكامل) والميل (التفاضل) وتعطي طريقة عملية لحساب التكاملات المحدودة دون اللجوء إلى نهايات مجاميع ريمان.

لأنه يُلغى عند الطرح: (F(b)+c)-(F(a)+c)=F(b)-F(a).

لأن التكامل يعطي عائلة أصول تختلف بثابت؛ فبدون شرط ابتدائي لا يمكن تحديد الاقتران الفيزيائي الوحيد المطلوب.

لأن التكامل العادي يطرح الإزاحة في الاتجاه العكسي؛ والقيمة المطلقة تجمع الأطوال المقطوعة فعلياً بغض النظر عن الاتجاه.

لأن الجواب يجب أن يكون بدلالة المتغير الأصلي x الذي طُرح به التكامل، لا بدلالة المتغير المساعد u.

لأن القيمة المثلى يجب أن تقع ضمن المجال الفيزيائي المعقول للمتغير (مثلاً طول موجب)؛ وأحياناً تقع القيمة القصوى عند طرف المجال.

لأن مشتقة أي ثابت تساوي صفراً، فلكل اقتران أصول كثيرة تختلف بمقدار ثابت؛ فيمثّل +c هذه العائلة كلها.

أنهما عمليتان عكسيتان؛ فالاشتقاق يلغي التكامل، والتكامل المحدود يُحسب من اقتران أصلي.

أنه لا يوجد حل وحيد؛ فإما أن للنظام عدداً لا نهائياً من الحلول أو لا حل له.

أنها مصفوفة شاذة غير قابلة للعكس، فلا يوجد لها نظير ضربي.

المساحة المحصورة بين منحنى الاقتران ومحور السينات على الفترة [a,b].

ميل المستقيم القاطع الواصل بين نقطتي طرفي الفترة على منحنى الاقتران.

إذا تساوت رتبتاهما وتساوى كل عنصر مع نظيره في الموضع نفسه.

عند الأنظمة ذات المجاهيل المتعددة، إذ تنظّم الحسابات وتتيح الحل بالنظير أو كرامر بكفاءة.

عندما f'(x)=0 لكل قيم x في تلك الفترة.

للاقتران ق(س)=س³+س²/(1−س)، يعطي تطبيق قاعدة القسمة ق'(−1)=9/4 (PDF ص. 19).

للاقتران ق(س)=(س²−2)/(س+3)، القيم التي تحقق ق'(س)=−3/4 هي س=−1 و−5 (PDF ص. 19).

للاقتران ق(س)=5س⁴+12س²، تكون المشتقة الرابعة ثابتة وقيمتها 120 (PDF ص. 20).

للعدد z = a + ib، المرافق هو z = a - ib، ولهما نفس المقياس.

2(x+y)=20 → y=10-x؛ المساحة A=x(10-x)=10x-x2، A'=10-2x=0 → x=5، فالأبعاد 5\times5 (مربع) ومساحته القصوى 25\,cm2.

مستوى إحداثي يمثل فيه المحور الأفقي الأعداد الحقيقية (Re) والمحور الرأسي الأعداد التخيلية (Im).

(ex)'=ex، ( x)'=(1)/(x)، (ax)'=ax a.

-(1)/(2) (سالب مقلوب ميل المماس).

أي معادلة كثير حدود من الدرجة n لها بالضبط n من الجذور المركبة (مع احتساب المكررة).

إذا كان f متصلاً على [a,b] وقابلاً للاشتقاق على (a,b)، فيوجد c(a,b) بحيث f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a).

إذا كان f متصلاً على [a,b] وقابلاً للاشتقاق على (a,b) وf(a)=f(b)، فيوجد c(a,b) بحيث f'(c)=0.

نقطة على المنحنى يتغيّر عندها اتجاه التقعر؛ تتحقق عندها f''(x)=0 (أو غير موجودة) مع تغيّر إشارة f''.

لا؛ يلزم أيضاً أن تتغيّر إشارة f'' عندها؛ فإن لم تتغيّر فليست نقطة انعطاف.

لا، لأن عدد أعمدة الأولى (3) لا يساوي عدد صفوف الثانية (2).

v(t)=3t2-12t+9=3(t-1)(t-3)=0، فالسكون اللحظي عند t=1 وt=3.