تجاوز إلى المحتوى الرئيسي

مراجعة مكثّفة

ملخص الرياضيات (الفرع العلمي) توجيهي: قوانين وأفكار

القوانين والأفكار الأساسية لكل درس في مادة الرياضيات (الفرع العلمي)، مبنية من المنهج المقرّر. هذه نظرة سريعة — افتح الملخص كاملاً مع البطاقات والأسئلة داخل TawjihiAI.

افتح الملخص كاملاًكل المواد

المتجهات والهندسة الفراغية

الإحداثيات الديكارتية في الفراغ ثلاثي الأبعاد

دليل شامل لفهم وتطبيق نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد (س، ص، ع) وحساب المسافات ونقاط المنتصف في الفراغ.

نظام الإحداثيات في الفراغ

  • يتكون من 3 محاور متعامدة: س، ص، ع.
  • نقطة الأصل: (0، 0، 0).
  • المستويات الإحداثية: س ص، س ع، ص ع.
  • تمثيل النقطة: (س، ص، ع) ← تحدد موقعاً فريداً في الفراغ.

المتجهات في المستوى

دراسة الكميات المتجهة والقياسية، وطرق تمثيل المتجهات هندسياً وحسابياً في المستوى الإحداثي.

العمليات الحسابية للمتجه

  • طول المتجه AB: |AB| = √((س_2 - س_1)2 + (ص_2 - ص_1)2)
  • ميل المتجه (الزاوية ): () = (ص)/(س)
  • المتجه في الوضع القياسي: يبدأ من نقطة الأصل (0,0) وينتهي عند (س, ص).

العمليات على المتجهات

A comprehensive guide to geometric and algebraic operations on vectors, including unit vectors, scalar multiplication, and vector properties.

Algebraic Operations

  • Addition: (a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
  • Subtraction: a - b = a + (-b)
  • Scalar Multiplication: k × (x, y) = (kx, ky)
  • [[figure: p3_algebraic_addition_example]]

المتجهات في الفراغ

دليل شامل لتمثيل المتجهات ثلاثية الأبعاد، إجراء العمليات الحسابية عليها، وحساب أطوالها ومتجهات الوحدة بدقة.

التمثيل الإحداثي والمتجهات الأساسية

  • المتجه بين نقطتين: AB = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)
  • متجهات الوحدة الأساسية: i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)
  • كتابة المتجه: A = xi + yj + zk

ضرب المتجهات

دليل شامل للعمليات على المتجهات (القياسي والمتجهي) وتطبيقاتها الهندسية والفيزيائية في المستوى والفراغ.

الضرب القياسي (الداخلي)

  • القانون الهندسي: A × B = |A| |B|
  • القانون الإحداثي (فراغ): A × B = A_1 B_1 + A_2 B_2 + A_3 B_3
  • التعامد: A B A × B = 0
  • الخاصية التبديلية: A × B = B × A

الهندسة الفراغية

ملخص شامل للمسلمات والعلاقات الهندسية في الفراغ، يركز على تحديد المستويات والعلاقات بين المستقيمات والمستويات.

تحديد المستوى (تعيين مستوى وحيد)

  • 3 نقاط ليست على استقامة واحدة ← مستوى وحيد.
  • مستقيم + نقطة خارجه ← مستوى وحيد.
  • مستقيمان متقاطعان ← مستوى وحيد.
  • مستقيمان متوازيان ← مستوى وحيد.

نظرية الأعمدة الثلاثة

قاعدة هندسية جوهرية تربط بين تعامد مستقيم مع مستوى ومساقطه، وتستخدم لإثبات تعامد مستقيمين في الفراغ.

استراتيجية الحل (خطوات ذهنية)

  • حدد العمودي على المستوى (المعطى الأول).
  • حدد المستقيم المعلوم في المستوى (المعطى الثاني).
  • ارسم المسقط العمودي للنقطة الخارجية على المستوى.
  • طبق النظرية مباشرة للوصول للنتيجة المطلوبة.

المنطق الرياضي

العبارة الرياضية ونفيها

العبارة الرياضية هي جملة خبرية محددة القيمة (صائبة أو خاطئة)، ونفيها يعكس قيمتها المنطقية تماماً.

أمثلة على نفي التباين

  • العبارة: 7 ≤ -2 ← النفي: 7 > -2
  • العبارة: (2)/(3) > (3)/(2) ← النفي: (2)/(3) ≤ (3)/(2)
  • العبارة: 91 عدد أولي ← النفي: 91 ليس عدداً أولياً

جداول الصواب وأدوات الربط

دراسة العبارات الرياضية وتحليل قيم صوابها باستخدام أدوات الربط المنطقي (و، أو) عبر جداول الصواب.

أداة الربط (و) - الوصل

  • الرمز: f n
  • القاعدة: تكون العبارة المركبة صائبة فقط إذا كانت جميع مركباتها صائبة.
  • الحالة الوحيدة للصواب: (ص، ص) ← ص.
  • [[figure: p2_جدول_صواب_أداة_الربط_و]]

أدوات الربط الشرطية

دليل شامل لفهم وتحليل العبارات الشرطية والشرطية الثنائية وجداول الصواب الخاصة بها.

جدول صواب العبارة الشرطية ( \

  • [[figure: p1_جدول_صواب_العبارة_الشرطية]]
  • | ف | ن | ف ← ن |
  • |---|---|---|
  • | ص | ص | ص |

العبارات الرياضية المتكافئة

دليل إتقان إثبات التكافؤ المنطقي باستخدام جداول الصواب والقوانين الجبرية، مع التركيز على المعكوس الإيجابي ونفي العبارات الشرطية.

2. العبارة الشرطية والمعكوس الإيجابي

  • العبارة الشرطية: ف ← ن
  • المعكوس الإيجابي: ~ن ← ~ف
  • القاعدة الذهبية: ف ← ن ~ن ← ~ف (دائماً متكافئتان).

الجملة المفتوحة

الجملة المفتوحة هي عبارة رياضية تحتوي على متغيرات، تتحول إلى عبارة صائبة أو خاطئة عند تعويض قيم محددة من مجموعة التعويض.

المفاهيم الأساسية

  • الجملة المفتوحة: جملة تحوي متغيراً أو أكثر ← تتحول لعبارة رياضية عند التعويض.
  • مجموعة التعويض: المجموعة التي نختار منها قيم المتغيرات.
  • مجموعة الحل: مجموعة جزئية من مجموعة التعويض تجعل الجملة صائبة.
  • الرموز: ل(س) (متغير واحد) ← هـ(س، ص) (متغيرين).

العبارات الرياضية المسورة

دراسة كيفية تحديد قيمة الصواب للعبارات الرياضية باستخدام السور الكلي (∀) والسور الجزئي (∃) بناءً على مجموعة التعويض.

السور الكلي (∀) -

  • الرمز: ∀ (لكل).
  • التعريف: ∀ س، ق(س) تكون صائبة فقط إذا كانت ق(س) صائبة لـ جميع عناصر مجموعة التعويض.
  • طريقة التفنيد: يكفي إيجاد عنصر واحد (مثال مضاد) يجعل العبارة خاطئة ← تصبح العبارة بأكملها خاطئة.

نفي العبارة المسورة

نفي العبارة المسورة يعتمد على قلب السور (من كلي إلى جزئي أو العكس) مع نفي العبارة المفتوحة المرافقة له.

آلية العمل (الخوارزمية)

  • الخطوة 1: تحديد نوع السور (كلي ∀ أو جزئي ∃).
  • الخطوة 2: استبدال السور بنقيضه (∀ ↔ ∃).
  • الخطوة 3: نفي العبارة المفتوحة (ق(س) ↔ ~ق(س)).

البرهان الرياضي

دليل شامل لاستراتيجيات البرهان الرياضي الأربعة: المباشر، غير المباشر، التناقض، والاستقراء الرياضي، مع التركيز على خطوات الحل المنهجية.

2. البرهان غير المباشر

  • المبدأ: العبارة (ف ← ن) تكافئ منطقياً (نَ ← فَ).
  • الخطوات: نفترض نفي النتيجة (نَ) ← نثبت نفي المعطيات (فَ).
  • مثال: إثبات أن المثلث متساوي الأضلاع ← زواياه متساوية.

المعادلات والمتباينات

حل نظام مكون من ثلاث معادلات خطية

دليل استراتيجي لتحويل المسائل اللفظية إلى أنظمة معادلات خطية بثلاثة متغيرات وحلها بدقة باستخدام التعويض أو الحذف.

تطبيقات عملية (نماذج الكتاب)

  • المسائل الاقتصادية: (س + ص + ع = المجموع الكلي) ← استخدام المعادلات لحساب أسعار السلع.
  • المسائل الهندسية: (مثل: متوازي المستطيلات) ← استخدام قوانين المحيط والأبعاد لتكوين النظام.
  • المسائل الفيزيائية: (مثل: معادلة الحركة ف = أ ن2 + ب ن + ج) ← إيجاد الثوابت عبر تعويض المعطيات الزمنية.

حل نظام من معادلتين إحداهما خطية والأخرى تربيعية

تعتمد استراتيجية الحل على استخدام 'طريقة التعويض' لتحويل النظام إلى معادلة تربيعية بمتغير واحد، ثم إيجاد قيم المتغيرات والتحقق من نقاط التقاطع.

استراتيجية الحل (طريقة التعويض)

  • اجعل أحد المتغيرين موضوعاً للقانون في المعادلة الخطية ← س = ص + أ
  • عوض قيمة المتغير في المعادلة التربيعية ← الحصول على معادلة بمتغير واحد
  • حل المعادلة الناتجة باستخدام التحليل أو القانون العام ← س = -ب ± √(ب2 - 4أج)2أ
  • أوجد قيم المتغير الثاني بالتعويض في المعادلة الخطية

حل نظام من معادلتين تربيعيتين

إيجاد نقاط تقاطع منحنيين تربيعيين من خلال طرق الحذف أو التعويض أو المتطابقات المثلثية، مع ربط الحل الجبري بالتمثيل البياني.

خطوات العمل المنهجية

  • 1. ترتيب المعادلات بحيث تكون المتغيرات المتشابهة تحت بعضها.
  • 2. اختيار المتغير الأسهل للحذف أو التعويض.
  • 3. إيجاد قيم المتغير الأول ← التعويض لإيجاد قيم المتغير الثاني.
  • 4. كتابة الحل النهائي على شكل أزواج مرتبة (س، ص).

حل معادلات أسية ولوغاريتمية

دليل استراتيجي لإتقان حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية عبر توحيد الأساسات، استخدام اللوغاريتمات، وتطبيق الخصائص الجبرية مع التحقق الدقيق من الحلول.

استراتيجية المعادلات الأسية

  • توحيد الأساسات: إذا كان ax = ay ← فإن x = y
  • استخدام اللوغاريتمات: إذا تعذر توحيد الأساسات ← نأخذ اللوغاريتم للطرفين
  • التحويل الجبري: معادلات مثل a^2x - ax - 6 = 0 ← تُحل بفرض y = ax لتصبح معادلة تربيعية

حل أنظمة المتباينات الخطية بمتغيرين

تحديد منطقة الحل المشتركة لنظام من المتباينات الخطية بيانياً من خلال تمثيل المستقيمات الحدودية وتظليل مناطق الحل لكل متباينة.

خطوات الحل

  • 1. تحويل المتباينة إلى معادلة مستقيم: ax + by = c.
  • 2. رسم المستقيم (متصل أو متقطع حسب إشارة التباين).
  • 3. اختبار نقطة (مثل 0,0) لتحديد جهة التظليل.
  • 4. تحديد التقاطع ← المنطقة التي تشترك فيها جميع مناطق التظليل.

حل معادلات تتضمن القيمة المطلقة

دليل منهجي لحل معادلات القيمة المطلقة عبر فهم الخصائص الجبرية وتقسيم الفترات على خط الأعداد.

خطوات حل المعادلات المركبة

  • 1. تحديد نقاط التلاشي لكل قيمة مطلقة في المعادلة.
  • 2. تقسيم خط الأعداد إلى فترات بناءً على هذه النقاط.
  • 3. حل المعادلة في كل فترة على حدة.
  • 4. قبول الحل فقط إذا كان يقع ضمن الفترة التي يتم دراستها.

حل متباينات خطية في متغيرين تتضمن القيمة المطلقة

دليل شامل لتحويل متباينات القيمة المطلقة إلى مناطق حل بيانية باستخدام خصائص التجزئة والتعريف الرياضي الدقيق.

خطوات الحل البياني (متغيرين)

  • إعادة تعريف القيمة المطلقة ← تقسيم المستوى الإحداثي إلى مناطق.
  • تمثيل المعادلات المرافقة لكل جزء ← رسم الحدود.
  • تحديد منطقة الحل ← تظليل المنطقة التي تحقق المتباينة الأصلية.
  • [[figure: p2_رسم_بياني_لتعريف_القيمة_المطلقة]]

أسئلة شائعة

ما هو ملخص الرياضيات (الفرع العلمي) للتوجيهي؟

صفحات مراجعة مختصرة لمادة الرياضيات (الفرع العلمي) تجمع القوانين والأفكار الأساسية ونصائح الامتحان لكل درس.

هل هي مبنية على المنهج؟

نعم — مبنية من المنهج المقرّر وتغطي وحدات المادة الرسمية. يمكنك معاينة الملخصات داخل TawjihiAI.

أكمل استعدادك في الرياضيات (الفرع العلمي)

صفحة الرياضيات (الفرع العلمي)أسئلة مع الحلبطاقات تعليميةمعجم المصطلحاتالامتحانات المتوقعة

احفظ مواعيدك في التطبيق

بعد التسجيل نحمّل مواعيد موادك تلقائياً — وتتابع العدّ التنازلي من الصفحة الرئيسية.

إنشاء حساب