بطاقات الرياضيات (الفرع العلمي) توجيهي: مراجعة سريعة

ما المقصود بـ نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد؟

نظام يتكون من ثلاثة مستقيمات متعامدة مثنى مثنى، تتقاطع في نقطة واحدة تسمى نقطة الأصل (0، 0، 0).

ما المقصود بـ المستويات الإحداثية؟

المستويات التي يقسم إليها الفراغ وهي: المستوى (س ص)، المستوى (س ع)، والمستوى (ص ع).

ما الفكرة التي يوضحها حساب إحداثيات نقطة المنتصف؟

1. نطبق قانون المنتصف: (12 + س)/(2) = -1، ومنه س = -14. 2. نطبق القانون على الصادات: (-4 + ص)/(2) = 4، ومنه ص = 12. 3. نطبق القانون على العينات: (8 + ع)/(2) = 5، ومنه ع = 2. 4. إحداثيات ب هي (-14، 12، 2).

ما المقصود بـ الكمية القياسية؟

كمية تتحدد بالمقدار فقط.

ما المقصود بـ الكمية المتجهة؟

كمية تتحدد بالمقدار والاتجاه.

ما المقصود بـ المتجه الصفري؟

متجه طوله صفر واتجاهه غير معين ويرمز له بالرمز 0.

ما المقصود بـ الوضع القياسي؟

تمثيل المتجه بحيث تكون نقطة بدايته هي نقطة الأصل (0,0).

ما المقصود بـ متجه الوحدة؟

متجه طوله يساوي وحدة واحدة، ويُحسب بقسمة المتجه على طوله: m = m|m|

ما المقصود بـ الخاصية التجميعية؟

خاصية تسمح بإعادة تجميع المتجهات عند جمع ثلاثة متجهات أو أكثر: (a + b) + c = a + (b + c)

ما المقصود بـ النظير الجمعي؟

المتجه الذي إذا أُضيف إلى المتجه الأصلي كان الناتج المتجه الصفري: a + (-a) = 0

ما الفكرة التي يوضحها جمع المتجهات جبرياً؟

1. نحدد المركبات: a_1=3, a_2=-1 و b_1=2, b_2=-3. 2. نطبق القانون: a + b = (3+2, -1+(-3)). 3. النتيجة: (5, -4).

ما المقصود بـ المتجه في الفراغ؟

قطعة مستقيمة موجهة في فضاء ثلاثي الأبعاد تُحدد بإحداثيات نقطة بدايتها ونهايتها.

ما المقصود بـ متجهات الوحدة الأساسية؟

المتجهات w_1=(1,0,0)، w_2=(0,1,0)، w_3=(0,0,1) التي تمثل اتجاهات المحاور الثلاثة.

ما المقصود بـ طول المتجه؟

المسافة بين نقطة البداية والنهاية، ويُحسب بالقانون: |a| = √(x2 + y2 + z2).

ما الفكرة التي يوضحها إيجاد متجه موازٍ؟

1. نجد المتجه ab = b - a = (8 - (-6)، -2 - 2، 4 - 4) = (14، -4، 0). 2. نجد طول ab = √(142 + (-4)2 + 02) = √(196 + 16) = √(212). 3. المتجه المطلوب = ± 3 × ab|ab| = ± 3 × ( 14√(212), -4√(212), 0 ).

ما المقصود بـ الضرب القياسي (الداخلي)؟

عملية ينتج عنها كمية قياسية، تُعرف بـ A × B = |A| |B| .

ما المقصود بـ الضرب المتجهي (الخارجي)؟

عملية ينتج عنها متجه عمودي على مستوى المتجهين، يُعرف بـ A × B = |A| |B| n .

ما المقصود بـ زوايا الاتجاه؟

الزوايا التي يصنعها المتجه مع المحاور الإحداثية الموجبة (س، ص، ع) في الفراغ.

ما الفكرة التي يوضحها حساب الزاوية بين متجهين؟

1. نحسب الضرب القياسي: A × B = (2)(3) + (2)(0) = 6 . 2. نحسب الأطوال: |A| = √(22 + 22) = √(8) = 2√(2) ، |B| = 3 . 3. نطبق القانون: = A × B|A||B| = 62√(2) × 3 = 1√(2) . 4. النتيجة: = 45^ .

ما المقصود بـ المُسلَّمة؟

عبارة رياضية تربط بين المسميات الأولية وتقبل صحتها دون برهان.

ما المقصود بـ المستقيمان المتخالفان؟

مستقيمان لا يتقاطعان ولا يقعان في نفس المستوى.

ما المقصود بـ النقاط المستقيمة؟

النقاط التي تقع جميعها على خط مستقيم واحد.

ما الفكرة التي يوضحها تحديد العلاقات في المجسمات؟

1. نختار مستقيماً (أ ب) على الوجه العلوي. 2. نختار مستقيماً (ج د) على الوجه السفلي بحيث لا يوازي (أ ب) ولا يتقاطع معه. 3. نجد أنهما لا يقعان في مستوى واحد، إذن هما متخالفان.

ما المقصود بـ نظرية الأعمدة الثلاثة؟

إذا رُسم من نقطة في مستوى مستقيمان أحدهما عمودي على المستوى، والآخر عمودي على مستقيم معلوم في المستوى، فالمستقيم الواصل بين أثر المستقيم العمودي على المستوى ونقطة تلاقي المستقيمين يكون عمودياً على المستقيم المعلوم.

ما المقصود بـ أثر المستقيم؟

نقطة تقاطع المستقيم مع المستوى.

ما الفكرة التي يوضحها مثال المستويين المتقاطعين (PDF ص 46، مطبوع ص 42)؟

1. م جـ ⊥ س (معطى) و جـ هـ ⊥ أ ب (معطى). 2. إذن م هـ ⊥ أ ب (حسب النظرية). 3. م د ⊥ ص (معطى) و م د ⊥ د هـ (بما أن م د عمودي على المستوى ص). 4. إذن د هـ ⊥ أ ب (حسب عكس النظرية).

ما المقصود بـ العبارة الرياضية؟

جملة خبرية تتصف بكونها صائبة (ص) أو خاطئة (خ) حصراً.

ما المقصود بـ قيمة الصواب؟

السمة التي تصف العبارة الرياضية بكونها صائبة (True) أو خاطئة (False).

ما المقصود بـ نفي العبارة؟

عملية منطقية تحول العبارة من صائبة إلى خاطئة أو العكس، ويرمز لها بـ (~).

ما الفكرة التي يوضحها نفي علاقات التباين؟

1. نحدد العلاقة الأصلية وهي (≤). 2. نقوم بعكس الإشارة إلى (>) وفق قواعد المنطق الرياضي. 3. نكتب العبارة المنفية لتصبح: -2 > س.

ما المقصود بـ العبارة الرياضية؟

جملة خبرية لها قيمة صواب محددة (صائبة أو خاطئة).

ما المقصود بـ أداة الربط (و)؟

أداة ربط منطقية يرمز لها بـ (∧)، وتكون العبارة المركبة الناتجة صائبة فقط إذا كانت جميع المركبات صائبة.

ما المقصود بـ أداة الربط (أو)؟

أداة ربط منطقية يرمز لها بـ (∨)، وتكون العبارة المركبة الناتجة خاطئة فقط إذا كانت جميع المركبات خاطئة.

ما الفكرة التي يوضحها تحديد قيمة صواب عبارة مركبة؟

1. المركبة الأولى (2 > 5) هي عبارة خاطئة (خ). 2. المركبة الثانية (8 = 8) هي عبارة صائبة (ص). 3. بما أن أداة الربط هي (و)، وبما أن إحدى المركبتين خاطئة، فإن العبارة المركبة (خ ∧ ص) تكون خاطئة (خ).

ما المقصود بـ العبارة الشرطية؟

عبارة مركبة تربط بين عبارتين بأداة الربط (إذا كان... فإن...) ويرمز لها بالرمز (ف ← ن).

ما المقصود بـ العبارة الشرطية الثنائية؟

عبارة مركبة تربط بين عبارتين بأداة الربط (إذا وفقط إذا) ويرمز لها بالرمز (ف ↔ ن).

ما المقصود بـ جدول الصواب؟

جدول يوضح جميع الاحتمالات لقيم صواب العبارات المكونة للعبارة المركبة وقيمة صوابها النهائية.

ما الفكرة التي يوضحها تحديد قيمة صواب عبارة شرطية؟

1. نعرّف ف: فاز عامر في المسابقة، ون: قدم المدير الجائزة. 2. الحالات الصائبة هي ص،ص أو خ،ص أو خ،خ. 3. الحالة الخاطئة الوحيدة هي ص،خ.

ما المقصود بـ العبارات المتكافئة؟

عبارتان رياضيتان لهما نفس قيم الصواب في جميع الحالات الممكنة.

ما المقصود بـ المعكوس الإيجابي؟

للعبارة الشرطية (ف ← ن)، المعكوس الإيجابي هو (~ن ← ~ف)، وهما متكافئتان دائماً.

ما المقصود بـ قوانين دي مورغان؟

قواعد لتوزيع النفي على أدوات الربط (∧) و (∨) مع عكس أداة الربط.

ما الفكرة التي يوضحها إثبات تكافؤ باستخدام القوانين؟

1. نعلم أن العبارة الشرطية تكافئ: (ف ← ن) ≡ ~ف ∨ ن 2. نقوم بنفي الطرفين: ~(ف ← ن) ≡ ~(~ف ∨ ن) 3. نطبق قانون دي مورغان: ~(~ف) ∧ (~ن) 4. نطبق قانون النفي المزدوج: ف ∧ ~ن

ما المقصود بـ الجملة المفتوحة؟

جملة تحتوي متغيراً أو أكثر، وتتحول إلى عبارة رياضية عند إعطاء قيم للمتغيرات.

ما المقصود بـ مجموعة التعويض؟

مجموعة القيم المتاحة التي يمكن تعويضها مكان المتغير.

ما المقصود بـ مجموعة الحل؟

مجموعة جزئية من مجموعة التعويض، تجعل الجملة المفتوحة عبارة صائبة.

ما المقصود بـ الجمل المتكافئة؟

جملتان مفتوحتان لهما نفس مجموعة الحل.

ما المقصود بـ السور الكلي (∀)؟

رمز يستخدم للتعبير عن أن العبارة صحيحة لجميع عناصر مجموعة التعويض.

ما المقصود بـ السور الجزئي (∃)؟

رمز يستخدم للتعبير عن وجود عنصر واحد على الأقل في مجموعة التعويض يجعل العبارة صحيحة.

ما المقصود بـ مجموعة التعويض؟

المجموعة التي تنتمي إليها قيم المتغير (س) والتي يتم اختبار صحة العبارة من خلالها.

ما الفكرة التي يوضحها اختبار صواب عبارة مسورة كلياً؟

1. العبارة تمثل متطابقة جبرية معروفة. 2. بتعويض أي قيمة حقيقية لـ س، نجد أن الطرفين متساويان دائماً. 3. النتيجة: العبارة صائبة لأنها تتحقق لجميع قيم س في مجموعة الأعداد الحقيقية.

ما المقصود بـ السور الكلي (∀)؟

أداة تعني 'لكل' أو 'جميع' وتستخدم لتعميم العبارة على كافة عناصر المجموعة.

ما المقصود بـ السور الجزئي (∃)؟

أداة تعني 'يوجد' أو 'بعض' وتستخدم للإشارة إلى وجود عنصر واحد على الأقل يحقق العبارة.

ما المقصود بـ نفي العبارة (~)؟

عملية منطقية تعكس قيمة صواب العبارة، حيث تصبح الصائبة خاطئة والخاطئة صائبة.

ما الفكرة التي يوضحها نفي عبارة رياضية؟

1. نحدد السور: السور هو جزئي (E). 2. نطبق القاعدة: النفي يقلب السور الجزئي إلى كلي (∀). 3. ننفي العبارة المفتوحة: 'اقتران ليس زوجياً أو ليس فردياً'. 4. النتيجة: ∀ س، ق(س) اقتران ليس زوجياً أو ليس فردياً.

ما المقصود بـ البرهان المباشر؟

طريقة إثبات تعتمد على افتراض صحة العبارة (ف) والوصول منطقياً إلى (ن).

ما المقصود بـ البرهان غير المباشر؟

إثبات صحة العبارة (ف ← ن) من خلال إثبات مكافئها المنطقي (نَ ← فَ).

ما المقصود بـ البرهان بالتناقض؟

افتراض خطأ العبارة والوصول إلى نتيجة متناقضة، مما يثبت صحة العبارة الأصلية.

ما المقصود بـ الاستقراء الرياضي؟

أسلوب إثبات للتعميمات المتعلقة بالأعداد الطبيعية عبر ثلاث خطوات: التحقق، الفرض، والإثبات.

ما المقصود بـ نظام المعادلات الخطية؟

مجموعة من المعادلات الخطية التي تشترك في نفس المتغيرات، ويكون حل النظام هو قيم المتغيرات التي تحقق جميع المعادلات في آن واحد.

ما الفكرة التي يوضحها حساب تكلفة الإنتاج (مصنع الألبان)؟

1. صياغة المعادلات: - س + ص + ع = 9 - 2س + ص - 2ع = -1 - 3س + ص - ع = 5 2. الحل: - بحل النظام نجد: س = 2، ص = 3، ع = 4. 3. التحقق بالتعويض في المعادلات الثلاث يؤكد الحل.

ما المقصود بـ نظام معادلات؟

مجموعة من المعادلات التي تُحل معاً لإيجاد قيم المتغيرات التي تحقق جميع المعادلات في آن واحد.

ما المقصود بـ المعادلة الخطية؟

معادلة تكون فيها أعلى قوة للمتغيرات هي واحد، وتمثل بيانياً بخط مستقيم.

ما المقصود بـ المعادلة التربيعية؟

معادلة تكون فيها أعلى قوة لأحد المتغيرات على الأقل هي اثنين، وتمثل بيانياً بمنحنى (مثل القطع المكافئ أو الدائرة).

ما الفكرة التي يوضحها مثال: أبعاد شاشة؟

1. نفرض العرض ص، الطول س = ص + 10. 2. نطبق نظرية فيثاغورس: س² + ص² = 50². 3. (ص + 10)² + ص² = 2500. 4. 2ص² + 20ص - 2400 = 0، بالتبسيط: ص² + 10ص - 1200 = 0. 5. (ص + 40)(ص - 30) = 0. بما أن العرض لا يكون سالباً، ص = 30 بوصة، س = 40 بوصة.

ما المقصود بـ نظام معادلتين تربيعيتين؟

مجموعة من معادلتين تحتوي كل منهما على متغيرات مرفوعة للقوة الثانية، ويكون الحل هو مجموعة الأزواج المرتبة (س، ص) التي تحقق المعادلتين معاً.

ما المقصود بـ نقاط التقاطع؟

هي الأزواج المرتبة التي تمثل الحل المشترك للمعادلتين، وتظهر بيانياً كأماكن تلاقي المنحنيات.

ما الفكرة التي يوضحها حل نظام باستخدام الحذف؟

1. نضرب المعادلة (2) في 3 لتصبح: 3س2 - 3ص2 = 36 . 2. نجمع المعادلة الناتجة مع المعادلة (1): 5س2 = 105 ومنها س2 = 21 . 3. إذن س = ± √(21) . 4. بالتعويض في (2): 21 - ص2 = 12 ومنها ص2 = 9 أي ص = ± 3 . 5. نقاط التقاطع هي: (± √(21), ± 3) .

ما المقصود بـ المعادلة الأسية؟

معادلة يكون فيها المتغير في الأس.

ما المقصود بـ المعادلة اللوغاريتمية؟

معادلة تحتوي على تعبير لوغاريتمي واحد أو أكثر يتضمن متغيراً.

ما المقصود بـ اللوغاريتم العادي؟

اللوغاريتم الذي أساسه 10، ويرمز له بـ (لو).

ما الفكرة التي يوضحها حل معادلة لوغاريتمية؟

1. نستخدم خاصية الطرح: لو((س)/(س-1)) = لو(5) 2. نساوي ما داخل اللوغاريتم: (س)/(س-1) = 5 3. بالضرب التبادلي: س = 5س - 5، ومنها 4س = 5، إذن س = 1.25 (مقبول).

ما المقصود بـ نظام المتباينات الخطية؟

مجموعة من متباينتين خطيتين أو أكثر تتضمن المتغيرين نفسهما.

ما المقصود بـ منطقة الحل؟

المنطقة المظللة في المستوى البياني التي تمثل مجموعة الأزواج المرتبة التي تحقق جميع متباينات النظام.

ما الفكرة التي يوضحها تمثيل نظام متباينات؟

1. نرسم المستقيم ص = 2س - 4 بخط متقطع ونظلل المنطقة التي تحقق ص > 2س - 4. 2. نرسم المستقيم ص = -س + 6 بخط متصل ونظلل المنطقة التي تحقق ص ≤ -س + 6. 3. المنطقة المشتركة بين التظليلين هي منطقة الحل للنظام.

ما المقصود بـ القيمة المطلقة؟

المسافة بين العدد والصفر على خط الأعداد، وهي دائماً قيمة غير سالبة.

ما المقصود بـ إعادة التعريف؟

تحويل عبارة القيمة المطلقة إلى اقتران متشعب بناءً على إشارة ما بداخلها.

ما الفكرة التي يوضحها مثال محلول: |س + 2| = 3س - 12؟

1. نجد صفر القيمة المطلقة: س + 2 = 0 → س = -2. 2. الحالة الأولى (س ≥ -2): س + 2 = 3س - 12 → 2س = 14 → س = 7 (مقبولة لأن 7 ≥ -2). 3. الحالة الثانية (س < -2): -(س + 2) = 3س - 12 → -س - 2 = 3س - 12 → 4س = 10 → س = 2.5 (مرفوضة لأنها لا تحقق شرط س < -2).

ما المقصود بـ القيمة المطلقة؟

المسافة بين العدد والصفر على خط الأعداد، وتُستخدم لتحديد نطاق القيم الممكنة.

ما المقصود بـ منطقة الحل؟

المساحة المظللة في المستوى الإحداثي التي تحقق المتباينة المعطاة.

ما الفكرة التي يوضحها حساب المسافة بين نقطة ومستقيم؟

1. نحدد معادلة المستقيم الممثل للشارع على الصورة أس + ب ص + ج = 0. 2. نستخدم قانون المسافة: ف = |أس_1 + ب ص_1 + ج|√(أ2 + ب2) 3. نعوض إحداثيات النقطة (س_1، ص_1) للحصول على العرض.