أسئلة الرياضيات توجيهي: مع الحل

س: عرّف الاقتران المتشعب.

ج: اقتران يُعرّف بقواعد مختلفة عند أجزاء مختلفة في مجاله.

س: عرّف اقتران القيمة المطلقة.

ج: اقتران يحتوي على قيمة مطلقة لمقدار جبري.

س: عرّف رأس الاقتران.

ج: النقطة التي يصل عندها اقتران القيمة المطلقة إلى أعلى أو أقل قيمة، وإحداثياها (h, k).

س: عرّف الاقتران الرئيس.

ج: أبسط اقتران في عائلة الاقترانات التي تتشابه منحنياتها.

س: عرّف الانسحاب الرأسي.

ج: تحويل هندسي ينقل منحنى الاقتران إلى الأعلى عند إضافة ثابت موجب، وإلى الأسفل عند طرحه.

س: عرّف الانسحاب الأفقي.

ج: تحويل هندسي ينقل منحنى الاقتران إلى اليسار عند إضافة ثابت موجب لقيم x، وإلى اليمين عند طرحه.

س: عرّف المتتالية المنتهية.

ج: متتالية تحوي عدداً منتهياً من الحدود.

س: عرّف المتتالية الحسابية.

ج: متتالية يكون الفرق بين كل حدين متتاليين فيها قيمة ثابتة تسمى أساس المتتالية (d).

س: عرّف المتسلسلة.

ج: مجموع حدود المتتالية، ويتم التعبير عنها بوضع إشارة الجمع (+) بين الحدود.

س: عرّف النهاية (limit).

ج: العدد الذي تقترب منه قيم الاقتران عندما تقترب قيم x من عدد محدد c.

س: عرّف الصيغة غير المحددة (indeterminate form).

ج: الناتج (0)/(0) الذي يظهر عند التعويض المباشر، ويتطلب تبسيط الاقتران لإيجاد النهاية.

س: عرّف الاقتران المتصل (continuous function).

ج: الاقتران الذي لا يوجد في تمثيله البياني أي انقطاع أو قفزة أو فجوة عند نقطة ما.

س: عرّف التعريف العام للمشتقة.

ج: نهاية ميل القاطع عندما تقترب المسافة الأفقية h من الصفر.

س: عرّف النقطة الحرجة.

ج: النقطة التي يكون عندها المماس أفقياً (المشتقة تساوي صفراً) أو غير موجودة.

س: عرّف العمودي على المماس.

ج: المستقيم الذي يصنع زاوية قائمة مع المماس عند نقطة التماس.

س: عرّف المشتقة الثانية.

ج: هي الاقتران الناتج من اشتقاق اقتران المشتقة الأولى للاقتران الأصلي.

س: عرّف اختبار المشتقة الثانية.

ج: طريقة تستخدم لتصنيف النقاط الحرجة للاقتران وتحديد نوعها (عظمى أو صغرى).

س: عرّف التسارع.

ج: هو المشتقة الثانية لاقتران الموقع بالنسبة للزمن، ويُرمز له بـ a(t) = s''(t).

س: عرّف المشتقة الثانية.

ج: هي مشتقة المشتقة الأولى للاقتران، وتستخدم لتحديد تقعر المنحنى وتصنيف القيم القصوى.

س: عرّف اختبار المشتقة الثانية.

ج: طريقة لتصنيف النقاط الحرجة c التي يكون عندها f'(c)=0، وذلك بفحص إشارة f''(c).

س: عرّف السرعة المتجهة.

ج: معدل تغير موقع الجسم بالنسبة للزمن، ويرمز لها بـ v(t) = s'(t).

س: عرّف اقتران التكلفة.

ج: اقتران يمثل تكلفة إنتاج x قطعة من منتج معين، ويرمز له بالرمز C(x).

س: عرّف التكلفة الحدية.

ج: هي مشتقة اقتران التكلفة C'(x)، وتمثل معدل تغير التكلفة بالنسبة لعدد القطع.

س: عرّف اقتران الإيراد.

ج: اقتران يمثل إيراد بيع x وحدة من منتج معين، ويرمز له بالرمز R(x).

س: عرّف قاعدة السلسلة.

ج: قاعدة تُستخدم لإيجاد مشتقة الاقتران المركب، وتنص على أن (f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) × g'(x).

س: عرّف قاعدة سلسلة القوة.

ج: حالة خاصة من قاعدة السلسلة لاشتقاق اقترانات القوة المركبة، حيث d/dx [g(x)]n = n[g(x)]^(n-1) × g'(x).

س: عرّف الاقتران المركب.

ج: اقتران يُسمى h(x) اقتراناً داخلياً للاقتران المركب، ويُسمى g(x) اقتراناً خارجياً له، حيث f(x) = (g ∘ h)(x).

س: عرّف مبدأ العد الأساسي.

ج: طريقة لإيجاد عدد الطرائق الممكنة لإجراء تجربة عشوائية مكونة من مراحل، بضرب عدد الطرائق الممكنة في كل مرحلة.

س: عرّف المضروب.

ج: حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 إلى n، ويرمز له بالرمز n!.

س: عرّف التباديل.

ج: الطرائق الممكنة لاختيار مجموعة من الأشياء مع مراعاة الترتيب.

س: عرّف المتغير العشوائي.

ج: متغير يأخذ قيماً عددية تعتمد على نواتج تجربة عشوائية.

س: عرّف التوزيع الاحتمالي.

ج: اقتران يربط قيم المتغير العشوائي باحتمالات وقوعها في التجربة.

س: عرّف التوقع.

ج: القيمة التي يؤول إليها المتغير العشوائي عند تكرار التجربة عدداً كبيراً من المرات.

س: عرّف الراديان (radian).

ج: وحدة قياس للزوايا تعتمد على طول قوس الدائرة، حيث 1 راديان هو قياس الزاوية التي يقابلها قوس طوله يساوي نصف قطر الدائرة.

س: عرّف الزاوية في الوضع القياسي.

ج: زاوية يقع رأسها عند نقطة الأصل (0,0) وضلع ابتدائها منطبق على المحور x الموجب.

س: عرّف الزوايا المشتركة (coterminal angles).

ج: زوايا في الوضع القياسي لها ضلع الانتهاء نفسه، لكن قياساتها مختلفة.

س: عرّف الاقتران المثلثي.

ج: قاعدة معطاة باستعمال النسبة المثلثية.

س: عرّف الزاوية الربعية.

ج: زاوية ينطبق ضلع انتهائها على أحد المحورين الإحداثيين.

س: عرّف الزاوية المرجعية.

ج: الزاوية الحادة ' المحصورة بين ضلع انتهاء الزاوية والمحور x .

س: عرّف السعة (Amplitude).

ج: نصف الفرق بين القيمة العظمى والقيمة الصغرى للاقتران الجيبي، وتساوي |a|.

س: عرّف الاقتران الدوري (Periodic Function).

ج: اقتران يكرر نمط تمثيله البياني بانتظام عبر فترات متساوية تسمى الدورة.

س: عرّف طول الدورة (Period).

ج: أقصر مسافة أفقية يكرر فيها الاقتران نمطه، وتحسب بالقانون (2)/(|b|).

س: عرّف الاقتران الأصلي.

ج: اقتران F(x) بحيث تكون مشتقته F'(x) = f(x).

س: عرّف التكامل غير المحدود.

ج: العملية العكسية للاشتقاق، ويُعبر عنه بـ f(x) dx.

س: عرّف المُكامل.

ج: الاقتران f(x) الذي يتم إيجاد تكامله.

س: عرّف الشرط الأولي.

ج: قيمة أو نقطة معطاة في المسألة تُستخدم لتحديد قيمة ثابت التكامل (C) وإيجاد الاقتران الأصلي الوحيد.

س: عرّف الاقتران الأصلي.

ج: الاقتران الذي مشتقته تساوي الاقتران المعطى، ويُعبر عنه بـ F(x) + C.

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها مثال 1: إيجاد قاعدة اقتران.

ج: 1. نجد تكامل المشتقة: f(x) = (3x2 + 4x - 3) dx = x3 + 2x2 - 3x + C. 2. نعوض الشرط الأولي (2, 4) في القاعدة: 4 = (2)3 + 2(2)2 - 3(2) + C. 3. نبسط المعادلة: 4 = 8 + 8 - 6 + C → 4 = 10 + C → C = -6. القاعدة هي f(x) = x3 + 2x2 - 3x - 6.

س: عرّف التكامل المحدود.

ج: عملية حسابية تعطي قيمة عددية تمثل الفرق بين قيمتي الاقتران الأصلي عند حدي التكامل.

س: عرّف الاقتران الأصلي.

ج: الاقتران F(x) الذي مشتقته هي f(x).

س: عرّف حدود التكامل.

ج: القيمتان a و b اللتان تحددان الفترة التي يتم التكامل عليها.

س: عرّف المجسم الدوراني.

ج: هو المجسم الناتج عن دوران منطقة محصورة بين منحنى اقتران والمحور x دورة كاملة حول المحور x.

س: عرّف التكامل المحدود.

ج: أداة رياضية تُستخدم لحساب المساحات تحت المنحنيات وحجوم المجسمات الدورانية ضمن حدود معينة.

س: عرّف الاقتران الأسي.

ج: الاقتران الذي يتضمن أسّاً متغيراً لأساس ثابت b حيث b > 0 و b 1.

س: عرّف خط التقارب الأفقي.

ج: خط مستقيم يقترب منه منحنى الاقتران دون أن يقطعه أو يمسه في المدى البعيد.

س: عرّف اقتران واحد لواحد.

ج: الاقتران الذي يرتبط فيه كل عنصر في مداه بعنصر واحد فقط في مجاله، ويمكن التحقق منه باختبار الخط الأفقي.

س: عرّف عامل النمو.

ج: المقدار (1 + r) الذي يضرب في الكمية الابتدائية لزيادتها بنسبة مئوية ثابتة.

س: عرّف عامل الاضمحلال.

ج: المقدار (1 - r) الذي يضرب في الكمية الابتدائية لتقليلها بنسبة مئوية ثابتة.

س: عرّف الربح المركب.

ج: الفائدة المستحقة على مبلغ الاستثمار الأصلي والفوائد المستحقة سابقاً.

س: عرّف خط التقارب الرأسي.

ج: المستقيم الذي يقترب منه منحنى الاقتران دون أن يقطعه، وهو المحور y في الاقتران اللوغاريتمي الرئيس.

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها مثال 1: تحويل الصورة اللوغاريتمية إلى أسية.

ج: 1. نحدد الأساس b=2، والناتج y=3، والقيمة x=8. 2. نطبق تعريف اللوغاريتم by = x. 3. تكون الصورة الأسية: 23 = 8.

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها مثال 3: تحديد خط التقارب الرأسي.

ج: 1. نحدد قيمة الإزاحة الأفقية h من الصيغة (x-h). 2. نجد أن h=1. 3. خط التقارب الرأسي هو المستقيم x=1.

س: عرّف قوانين اللوغاريتمات.

ج: مجموعة من القواعد الرياضية التي تربط بين عمليات الضرب والقسمة والقوة داخل اللوغاريتمات.

س: عرّف الصورة المطولة.

ج: كتابة المقدار اللوغاريتمي بحيث يتم تفكيكه إلى عدة مقادير لوغاريتمية بسيطة باستخدام القوانين.

س: عرّف الصورة المختصرة.

ج: كتابة المقدار اللوغاريتمي في صورة لوغاريتم واحد فقط.

س: عرّف اللوغاريتم الاعتيادي.

ج: اللوغاريتم للأساس 10، ويُكتب عادةً log x من دون أساس.

س: عرّف اللوغاريتم الطبيعي.

ج: اللوغاريتم للأساس e، ويُرمز إليه بالرمز ln.

س: عرّف خاصية المساواة اللوغاريتمية.

ج: إذا كان b, y, x أعداداً حقيقية موجبة، حيث b ≠ 1، فإن log_b(x) = log_b(y) إذا وفقط إذا كان x = y.