أسئلة الرياضيات (الفرع الأدبي) توجيهي: مع الحل

س: حل المعادلة: س - 4 = 2س - 6

ج: بطرح س من الطرفين: -4 = س - 6. بإضافة 6 للطرفين: س = 2.

س: حل المعادلة: 7س - 11 = 3 موضحاً الخطوات باستخدام النظائر.

ج: بإضافة النظير الجمعي للعدد (11-) وهو 11 للطرفين: 7س = 14. بضرب الطرفين بالنظير الضربي للعدد 7 وهو (1/7): س = 2.

س: حل المعادلة: 3(س - 5) = 4 - (س + 3)

ج: 3س - 15 = 4 - س - 3، ومنها 3س - 15 = 1 - س، بإضافة س للطرفين وإضافة 15 للطرفين: 4س = 16، إذاً س = 4.

س: عرف نظام المعادلات الخطية بمتغيرين كما ورد في الكتاب المدرسي.

ج: نظام المعادلات الخطية هو مجموعة من المعادلات الخطية، لها المتغيرات نفسها، ويتمثل حل النظام الخطي في إيجاد القيم العددية لمتغيراته حيث تتحقق معادلاته جميعها في آن واحد.

س: ما الهدف الأساسي من استخدام 'طريقة التعويض' في حل نظام من معادلتين خطيتين؟

ج: الهدف هو جعل أحد المتغيرين موضوعاً للقانون في إحدى المعادلتين، ثم تعويض قيمته في المعادلة الأخرى للحصول على معادلة بمتغير واحد يسهل حلها.

س: اشرح الفكرة الجوهرية لطريقة الحذف في حل أنظمة المعادلات.

ج: تتلخص هذه الطريقة في التخلص من أحد المتغيرين عن طريق جمع أو طرح المعادلتين بعد جعل معاملات أحد المتغيرين متساوية في المقدار ومتعاكسة في الإشارة، وصولاً إلى معادلة بمتغير واحد.

س: ارسم المستقيم ص = س - 2 باستخدام نقطتين.

ج: نختار س=0 فتكون ص=-2، ونختار س=2 فتكون ص=0. النقطتان هما (0، -2) و(2، 0).

س: ماذا نستنتج إذا كان للمستقيمين نفس الميل ومقطع صادي مختلف؟

ج: نستنتج أن المستقيمين متوازيان ولا يوجد حل للنظام.

س: أوجد حل النظام: 2س - ص = 1، س - 2ص = 8.

ج: يتم الحل برسم المستقيمين وتحديد نقطة التقاطع.

س: مستطيل محيطه 24 سم ومساحته 20 سم². أوجد بعديه.

ج: البعدان هما 10 سم و 2 سم.

س: هل النقطة (3، -1) حل للنظام: س² - ص² = 8 و س + ص = 2؟

ج: نعم، لأن 3² - (-1)² = 9 - 1 = 8، و 3 + (-1) = 2.

س: هل النقطة (-3، 1) حل للنظام: س² - ص² = 8 و س + ص = 2؟

ج: لا، لأن -3 + 1 = -2 لا يساوي 2.

س: مفاهيم أساسية في المتباينات الخطية

ج: نحول المتباينة إلى معادلة ص + 2س = 8 ونرسم المستقيم المتقطع.

س: لماذا يُرسم المستقيم متقطعاً في المتباينة ص + 2س > 8 بينما يُرسم متصلاً في المتباينة 2س - 3ص ≤ 6؟

ج: يُرسم المستقيم متقطعاً عندما تحتوي المتباينة على إشارة (< أو >) لأن النقاط التي تقع على المستقيم لا تحقق المتباينة. بينما يُرسم متصلاً عندما تحتوي المتباينة على إشارة (≤ أو ≥) لأن النقاط التي تقع على المستقيم تحقق المتباينة وتعتبر جزءاً من الحل.

س: عرف مجموعة حل المتباينة من الدرجة الأولى بمتغيرين.

ج: مجموعة حل المتباينة من الدرجة الأولى في متغيرين هي مجموعة الأزواج المرتبة (س، ص) جميعها والتي تحقق المتباينة، حيث س، ص عددان حقيقيان.

س: أوجد القيمة العظمى للمقدار 4س + 2ص بشرط: 2س + ص ≥ 15، س + 3ص ≥ 20، س ≤ 0، ص ≤ 0.

ج: يتم تحديد الرؤوس واختبارها في اقتران الهدف.

س: إذا كانت النقطة (7، 0) هي إحدى النقاط المتطرفة لنظام متباينات، فما قيمة اقتران الهدف 4س + 5ص عندها؟

ج: 28

س: ما النقطة التي تنتمي لمجموعة حل النظام: س - ص > 1، ص + س < 1؟

ج: (0، 2-)

س: لماذا تعد 'كتابة التقرير' خطوة جوهرية في البحث العلمي؟

ج: لأنها توثق النتائج والتوصيات وتجعل البحث متاحاً للاستفادة منه في إيجاد حلول للمشكلة.

س: تطبيقات عملية على البحث العلمي

ج: معرفة العلاقة بين عدد الساعات التي يقضيها الطالب في مشاهدة التلفاز وتحصيله الدراسي.

س: ما الفرق بين المصادر الإلكترونية والمقابلة في جمع المعلومات؟

ج: المصادر الإلكترونية توفر بيانات ثانوية جاهزة، بينما المقابلة توفر بيانات أولية مباشرة من الأفراد المعنيين بالمشكلة.

س: ما الفرق بين العينة العشوائية البسيطة والعينة العشوائية الطبقية؟

ج: العينة البسيطة تُستخدم للمجتمعات المتجانسة حيث لكل فرد فرصة متساوية. أما الطبقية فتُستخدم للمجتمعات غير المتجانسة حيث يتم تقسيم المجتمع إلى طبقات فرعية لضمان تمثيل كل طبقة.

س: اشرح خطوات اختيار عينة عنقودية لدراسة المستوى المعيشي في مدينة ما.

ج: 1. تقسيم المدينة إلى مناطق (أحياء). 2. اختيار منطقة أو أكثر عشوائياً. 3. اختيار عدد من الشوارع داخل المنطقة المختارة عشوائياً. 4. اختيار عدد من المنازل من كل شارع عشوائياً.

س: أنواع العينات الاحتمالية

ج: المسافة الثابتة = 450 ÷ 90 = 5.

س: ما هما الشرطان الأساسيان لأي توزيع احتمالي؟

ج: 1) احتمال كل قيمة من قيم المتغير العشوائي: 0 ≤ ل(س) ≤ 1. 2) مجموع احتمالات قيم المتغير العشوائي جميعها = 1.

س: في تجربة رمي حجر نرد، إذا كان المتغير العشوائي (س) هو العدد الظاهر، هل التوزيع الاحتمالي ل(س) = 1/6 لكل س هو توزيع احتمالي صحيح؟

ج: نعم، لأن 0 ≤ 1/6 ≤ 1 ومجموع الاحتمالات (1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6) = 1.

س: التوزيع الاحتمالي

ج: أ = 0.15

س: يربح صاحب متنزه 120 ديناراً في اليوم المشمس، ويخسر 20 ديناراً في اليوم غير المشمس. إذا كان احتمال اليوم المشمس 0.8، احسب التوقع للربح اليومي.

ج: احتمال اليوم غير المشمس = 1 - 0.8 = 0.2. التوقع = (120 × 0.8) + (-20 × 0.2) = 96 - 4 = 92 ديناراً.

س: اشرح لماذا نستخدم التكرارات النسبية كاحتمالات في حساب التوقع؟

ج: لأن التكرار النسبي يمثل نسبة حدوث القيمة بالنسبة للمجموع الكلي، وهو ما يعبر عن الاحتمال في التوزيعات التجريبية.

س: إذا كان ص = أ س - 4، وكان ت(ص) = 50، ت(س) = 18، أوجد قيمة أ.

ج: ت(ص) = أ × ت(س) - 4، إذن 50 = أ × 18 - 4، ومنها 54 = 18أ، إذن أ = 3.

س: في تجربة ذات حدين، إذا كانت ن = 5، أ = 0.2، س = 3، احسب ل(س).

ج: ل(3) = (5 فوق 3) × (0.2)3 × (0.8)2 = 10 × 0.008 × 0.64 = 0.0512

س: إذا كان احتمال فوز فريق في المباراة الواحدة 0.7، ولعب 10 مباريات، ما توقعك لعدد المباريات التي سيخسرها الفريق؟

ج: احتمال الخسارة = 1 - 0.7 = 0.3. التوقع للخسارة = 10 × 0.3 = 3 مباريات.

س: ما المقصود بعبارة 'احتمال الحصول على 4 نجاحات على الأقل' في تجربة ذات حدين؟

ج: المقصود هو ل(س ≥ 4).

س: أكمل الحدود الثلاثة التالية للمتتالية: 12، 24، 48، ...

ج: 96، 192، 384.

س: إذا كان الحد العام لمتتالية هو ح_ن = 3ن + 1، أوجد الحدود الثلاثة الأولى.

ج: الحد الأول ح_1 = 3(1) + 1 = 4، الحد الثاني ح_2 = 3(2) + 1 = 7، الحد الثالث ح_3 = 3(3) + 1 = 10.

س: بالاعتماد على نشاط (8)، إذا كانت المتتالية 3، 9، 27، ... أوجد قيمة ح_4.

ج: ح_4 = 81.

س: أوجد قيمة س التي تجعل المقادير (س + 8)، (4س + 6)، (3س) متتالية حسابية.

ج: بما أنها متتالية حسابية، فإن الفرق بين الحدين الثاني والأول يساوي الفرق بين الثالث والثاني: (4س + 6) - (س + 8) = (3س) - (4س + 6). ومنها: 3س - 2 = -س - 6، وبحل المعادلة نجد أن 4س = -4، إذن س = -1.

س: اكتب قانون الحد العام للمتتالية الحسابية، موضحاً دلالة كل رمز فيه.

ج: قانون الحد العام هو: ح_ن = أ + (ن - 1) × د. حيث (أ) هو الحد الأول، (د) هو أساس المتتالية الحسابية، و(ن) هي رتبة الحد.

س: في المتتالية الحسابية التي حدها الأول (أ = -26) وأساسها (د = 3)، أوجد الحد الخامس.

ج: ح_5 = أ + (5 - 1) × د = -26 + 4 × 3 = -26 + 12 = -14.

س: عرف المتتالية الهندسية كما ورد في الكتاب المدرسي، وما هو الرمز المستخدم لكل من الحد الأول وأساس المتتالية؟

ج: المتتالية الهندسية هي المتتالية التي تكون فيها النسبة بين أي حد والحد الذي يسبقه مباشرة قيمة ثابتة. يرمز للحد الأول بالرمز (أ)، ويرمز لأساس المتتالية بالرمز (ر).

س: اكتب صيغة الحد العام للمتتالية الهندسية، موضحاً دلالة الرموز المستخدمة.

ج: صيغة الحد العام هي: ح_ن = أ × ر^ن-1، حيث (أ) هو الحد الأول، (ر) هو أساس المتتالية الهندسية، و(ن) هي رتبة الحد.

س: كيف يمكن التمييز بين المتتالية الحسابية والمتتالية الهندسية؟

ج: تتميز المتتالية الحسابية بوجود فرق ثابت بين كل حدين متتاليين، بينما تتميز المتتالية الهندسية بوجود نسبة ثابتة بين كل حدين متتاليين.

س: في الرسم البياني، كيف نمثل النهاية غير الموجودة؟

ج: تظهر كقفزة في منحنى الاقتران عند النقطة أ، حيث تنتهي جهة اليمين عند قيمة مختلفة عن جهة اليسار.

س: متى تكون نهاية الاقتران غير موجودة؟

ج: تكون النهاية غير موجودة إذا كانت النهاية من اليمين لا تساوي النهاية من اليسار عند تلك النقطة.

س: هل يمكن أن توجد نهاية للاقتران عند نقطة س = أ حتى لو كان الاقتران غير معرف عند أ؟

ج: نعم، وجود النهاية يعتمد على سلوك الاقتران حول النقطة أ وليس على قيمته عند أ.

س: جد قيمة: → -3 (س3 + 27)/(س + 3)

ج: 27

س: متى نقول عن نهاية اقتران نسبي أنها 'صورة غير معينة'؟

ج: إذا كان ناتج التعويض المباشر يساوي 0/0.

س: جد قيمة: → 2 (4 - س2)/(س - 2)

ج: -4

س: وضح كيف نحدد القاعدة المناسبة لحساب النهاية عند نقطة معينة.

ج: ننظر إلى المتباينة المرافقة لكل قاعدة؛ إذا كانت النقطة تقع ضمن الفترة المحددة، نستخدم تلك القاعدة.

س: تطبيقات وحل مسائل

ج: ق(4) = -1

س: إذا كان ق(س) = 2.5 لجميع قيم س ≥ 10، ما هي نها ق(س) عندما س ← 10+؟

ج: 2.5

س: اذكر الشروط الثلاثة التي يجب أن تتحقق ليكون الاقتران ق(س) متصلاً عند س = أ.

ج: يكون الاقتران ق(س) متصلاً عند س = أ إذا تحققت الشروط الآتية: 1) ق(أ) معرفة. 2) نها ق(س) عندما س ← أ موجودة. 3) نها ق(س) عندما س ← أ = ق(أ).

س: بالاعتماد على تعريف الاتصال، هل الاقتران ق(س) الموضح في نشاط 2 (صفحة 91) متصل عند س = 2؟ وضح إجابتك.

ج: نعم، الاقتران متصل عند س = 2 لأن ق(2) = 4، ونهاية ق(س) عندما س ← 2 تساوي 4، وبما أن النهاية تساوي قيمة الاقتران، فالشرط الثالث متحقق.

س: دراسة الاتصال جبرياً وبيانياً

ج: ق(1) = (1)2 + 1 = 2.