أسئلة رياضيات إنسانيات توجيهي: مع الحل

س: عرّف المصفوفة (Matrix).

ج: ترتيب للأعداد الحقيقية على شكل مستطيل، مكون من عدد من الصفوف وعدد من الأعمدة، وتوضع بين حاصرتين [ ].

س: عرّف رتبة المصفوفة.

ج: تُعبر عن أبعاد المصفوفة وتكتب على الصورة (م × ن)، حيث م عدد الصفوف، ون عدد الأعمدة.

س: عرّف مصفوفة الوحدة.

ج: مصفوفة مربعة جميع مدخلات قطرها الرئيسي تساوي 1 وباقي المدخلات أصفار، ويرمز لها بالرمز (م).

س: عرّف المصفوفات المتساوية في الرتبة.

ج: مصفوفتان لهما نفس عدد الصفوف ونفس عدد الأعمدة، وهو شرط أساسي لإجراء عمليتي الجمع والطرح.

س: عرّف النظير الجمعي.

ج: مصفوفة ناتجة عن ضرب جميع عناصر المصفوفة الأصلية في العدد (1-).

س: عرّف شرط الضرب.

ج: تكون عملية الضرب معرفة فقط إذا كان عدد أعمدة المصفوفة الأولى يساوي عدد صفوف المصفوفة الثانية.

س: عرّف المصفوفة المحايدة ضربياً.

ج: هي المصفوفة التي عند ضربها في أي مصفوفة أخرى (قابلة للضرب) تعطي المصفوفة نفسها، ويرمز لها بـ (م).

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها مثال توضيحي على الضرب.

ج: 1. رتبة A هي (2×2). 2. رتبة B هي (3×2). 3. بما أن عدد أعمدة A (2) لا يساوي عدد صفوف B (3)، فإن عملية الضرب A.B غير معرفة.

س: عرّف المحدد (Determinant).

ج: قيمة عددية مرتبطة بالمصفوفة المربعة، ويرمز لها بالرمز |أ|.

س: عرّف المصفوفة المربعة.

ج: مصفوفة عدد صفوفها يساوي عدد أعمدتها.

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها حساب محدد 2×2.

ج: 1. نحدد عناصر القطر الرئيسي: (1 × 1) = 1 2. نحدد عناصر القطر الثانوي: (2 × 3) = 6 3. نطرح: |ب| = 1 - 6 = -5

س: عرّف النظير الضربي (Multiplicative Inverse).

ج: مصفوفة A^-1 تحقق العلاقة A × A^-1 = A^-1 × A = I، حيث I هي مصفوفة الوحدة.

س: عرّف المصفوفة المنفردة (Singular Matrix).

ج: مصفوفة مربعة محددها يساوي صفراً، وبالتالي لا يوجد لها نظير ضربي.

س: عرّف المصفوفة المعكوسة.

ج: مصفوفة A^-1 التي تحقق AA^-1 = I، وتستخدم لحل النظام الخطي.

س: عرّف محدد المصفوفة.

ج: قيمة عددية مرتبطة بالمصفوفة المربعة، وتحدد إمكانية وجود حل وحيد للنظام.

س: عرّف قاعدة كرامر.

ج: طريقة لحل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام محددات المصفوفات.

س: عرّف متوسط التغير.

ج: هو نسبة التغير في قيم الاقتران (Δص) إلى التغير في قيم المتغير المستقل (Δس) في فترة معينة [س1، س2].

س: عرّف ميل القاطع.

ج: هو القيمة الهندسية لمتوسط التغير، حيث يمثل ميل المستقيم الواصل بين نقطتين على منحنى الاقتران.

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها حساب متوسط التغير.

ج: 1. المعطيات: س1=2، س2=5، ق(س)=س2+4 2. نحسب الصور: ق(2)=8، ق(5)=29 3. نطبق القانون: (29-8)/(5-2) = 21/3 = 7

س: عرّف المشتقة الأولى.

ج: هي نهاية متوسط تغير الاقتران عندما تؤول التغير في المدخلات (هـ) إلى الصفر.

س: عرّف متوسط التغير.

ج: مقدار التغير في قيمة الاقتران مقسوماً على التغير في قيمة المتغير المستقل (س).

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها إيجاد المشتقة للاقتران الثابت.

ج: 1. نطبق القانون: f'(2) = → 0 (f(2+h) - f(2))/(h) 2. بما أن الاقتران ثابت، f(2+h) = 5 و f(2) = 5 3. f'(2) = → 0 (5 - 5)/(h) = → 0 (0)/(h) = 0

س: عرّف الاشتقاق.

ج: عملية رياضية لإيجاد معدل تغير الدالة بالنسبة لمتغيرها المستقل.

س: عرّف قاعدة السلسلة.

ج: قاعدة تستخدم لاشتقاق الدوال المركبة التي تكون على صورة دالة داخل دالة.

س: عرّف المشتقة.

ج: ميل المماس لمنحنى الدالة عند نقطة معينة.

س: عرّف ميل المماس.

ج: هو قيمة المشتقة الأولى للدالة f'(x) عند نقطة التماس x_1.

س: عرّف العمودي على المماس.

ج: هو المستقيم العمودي على المماس عند نقطة التماس، وميله يساوي -(1)/(f'(x_1)).

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها إيجاد معادلة المماس.

ج: 1. نجد المشتقة: f'(x) = 2x. 2. نحسب الميل عند x=1: m = f'(1) = 2(1) = 2. 3. نطبق معادلة المماس: y - 1 = 2(x - 1). 4. التبسيط: y = 2x - 1.

س: عرّف الدالة المركبة.

ج: دالة ناتجة عن تركيب دالتين، حيث تكون مخرجات الدالة الأولى مدخلات للدالة الثانية.

س: عرّف قاعدة السلسلة.

ج: قاعدة تستخدم لإيجاد مشتقة الدالة المركبة من خلال ضرب مشتقة الدالة الخارجية في مشتقة الدالة الداخلية.

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها تطبيق مباشر على قاعدة السلسلة.

ج: 1. نجد f'(x) = 2x و g'(x) = 2x. 2. نطبق القاعدة: (f g)'(x) = f'(g(x)) × g'(x). 3. نعوض x=1: g(1) = 12 + 1 = 2. 4. (f g)'(1) = f'(2) × g'(1) = (2 × 2) × (2 × 1) = 4 × 2 = 8.

س: عرّف النقطة الحرجة.

ج: هي النقطة التي يكون عندها المشتقة الأولى ق'(س) = 0 في مجال الاقتران.

س: عرّف قيمة عظمى محلية.

ج: قيمة الاقتران ق(ج) التي تكون أكبر من أو تساوي جميع قيم الاقتران في فترة مفتوحة حول ج.

س: عرّف قيمة صغرى محلية.

ج: قيمة الاقتران ق(ج) التي تكون أصغر من أو تساوي جميع قيم الاقتران في فترة مفتوحة حول ج.

س: عرّف العلامة المعيارية (ع).

ج: عدد الانحرافات المعيارية التي تبعدها القيمة الخام عن الوسط الحسابي.

س: عرّف الوسط الحسابي (μ).

ج: مجموع القيم مقسوماً على عددها.

س: عرّف الانحراف المعياري (σ).

ج: الجذر التربيعي لمتوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي.

س: عرّف التوزيع الطبيعي المعياري.

ج: توزيع احتمالي طبيعي وسطه الحسابي صفر وانحرافه المعياري واحد.

س: عرّف الدرجة المعيارية (Z-score).

ج: قيمة تعبر عن عدد الانحرافات المعيارية التي تبعدها القيمة (X) عن الوسط الحسابي (μ).

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها حساب الاحتمال لقيمة معيارية.

ج: 1. نحدد القيمة 1.2 في العمود الأول من الجدول. 2. نتحرك أفقياً حتى نصل إلى العمود الذي يمثل 0.05. 3. القيمة المتقاطعة في الجدول هي الاحتمال المطلوب: 0.8944.

س: عرّف التكامل غير المحدود.

ج: مجموعة الاقترانات الأصلية للاقتران المعطى، ويُعبر عنه بالرمز ∫ ق(س) د س = ق(س) + ج.

س: عرّف ثابت التكامل (ج).

ج: عدد حقيقي ثابت يُضاف لناتج التكامل لتمثيل جميع الاقترانات التي لها نفس المشتقة.

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها تكامل دالة القوة.

ج: 1. نطبق قاعدة القوة: ∫ س^ن د س = (س^(ن+١) / (ن+١)) + ج 2. هنا ن = ٢، إذن: (س^(٢+١) / (٢+١)) + ج 3. النتيجة: (س^٣ / ٣) + ج

س: عرّف التكامل المحدد.

ج: هو قيمة عددية تمثل تراكم دالة ما على فترة مغلقة [a, b]، ويرمز له بالرمز ^b f(x) dx.

س: عرّف النظرية الأساسية للتكامل.

ج: الرابط الرياضي الذي يربط بين التكامل المحدد للاقتران f والاقتران المقابل F، حيث ^b f(x) dx = F(b) - F(a).

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها حساب تكامل محدد بسيط.

ج: 1. نجد الاقتران المقابل لـ 3x2 وهو x3. 2. نطبق النظرية الأساسية: [x3]1^2. 3. نحسب الفرق: (2)3 - (1)3 = 8 - 1 = 7.

س: عرّف التكامل بالتعويض.

ج: طريقة تكامل تُستخدم لتبسيط التكاملات المعقدة عن طريق استبدال جزء من الدالة بمتغير جديد (ص)، مما يسهل عملية التكامل باستخدام القواعد المعروفة.

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها تكامل دالة مركبة (مثال 3).

ج: 1. نفرض ص = س2 + س - 5 2. نشتق: (د ص)/(د س) = 2س + 1 → د س = (د ص)/(2س + 1) 3. نعوض في التكامل: (2س + 1) × ص2 × (د ص)/(2س + 1) = ص2 د ص 4. نكامل: (ص3)/(3) + ج 5. النتيجة النهائية: ((س2 + س - 5)3)/(3) + ج

س: عرّف التكامل المحدد.

ج: عملية حسابية تستخدم لإيجاد المساحة المحصورة بين منحنى دالة ومحور السينات أو بين منحنيين.

س: عرّف تجزئة التكامل.

ج: تقسيم فترة التكامل إلى فترات جزئية عند نقاط تقاطع المنحنيات لضمان دقة حساب المساحة.

س: عرّف الفائدة (Interest).

ج: عائد مادي يُدفع مقابل استخدام المال، ويُحسب بنسبة مئوية من المبلغ الأصلي.

س: عرّف رأس المال (م).

ج: المبلغ الأصلي الذي تم استثماره أو اقتراضه.

س: عرّف معدل الفائدة (ع).

ج: نسبة مئوية من رأس المال تُدفع كعائد لكل وحدة زمنية (عادة سنة).

س: عرّف الفائدة المركبة.

ج: مبلغ يضاف إلى رأس المال في نهاية كل فترة زمنية محددة، وتُحسب الفائدة التالية بناءً على المبلغ الجديد.

س: عرّف الجملة (ج).

ج: المبلغ الأصلي مضافاً إليه مجموع الفوائد التراكمية.

س: عرّف فترة الإضافة.

ج: المدة الزمنية التي يتم بعدها إضافة الفائدة إلى المبلغ الأصلي (سنوية، نصف سنوية، ربع سنوية).

س: عرّف السند (Bond).

ج: ورقة مالية تمثل قرضاً يقدمه المستثمر للجهة المصدرة للسند مقابل الحصول على دفعات فائدة دورية واسترداد القيمة الاسمية عند الاستحقاق.

س: عرّف معدل القسيمة (Coupon Rate).

ج: معدل الفائدة السنوي الذي تدفعه الجهة المصدرة للسند بناءً على قيمته الاسمية.

س: عرّف القيمة الاسمية (Par Value).

ج: المبلغ الذي يلتزم المصدر بدفعه لحامل السند عند تاريخ الاستحقاق.