أسئلة الرياضيات توجيهي: مع الحل

س: عرّف متوسط التغير.

ج: هو ميل المستقيم القاطع لمنحنى الاقتران ق(س) الذي يمر بالنقطتين (س1، ق(س1)) و (س2، ق(س2)).

س: عرّف ميل القاطع.

ج: النسبة بين التغير في قيمة ص (Δص) والتغير في قيمة س (Δس).

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها حساب متوسط التغير.

ج: 1. نحدد المعطيات: س1=3، س2=5. 2. نحسب الصور: ق(3) = 32 + 5 = 14، ق(5) = 52 + 5 = 30. 3. نطبق القانون: (30 - 14)/(5 - 3) = (16)/(2) = 8.

س: عرّف المشتقة الأولى.

ج: هي نهاية متوسط تغير الاقتران عندما تقترب هـ من صفر، ويرمز لها بـ ق'(س) أو دص/دس.

س: عرّف الاقتران القابل للاشتقاق.

ج: الاقتران الذي تكون نهايته عند نقطة معينة موجودة وفق تعريف المشتقة.

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها تطبيق قاعدة القوة عند نقطة.

ج: 1. نجد المشتقة العامة: ق'(س) = 5س4. 2. نعوض قيمة س = -2: ق'(-2) = 5 × (-2)4. 3. نحسب الناتج: 5 × 16 = 80.

س: عرّف الاشتقاق.

ج: عملية رياضية لإيجاد معدل تغير الاقتران عند نقطة معينة.

س: عرّف قاعدة المجموع والفرق.

ج: مشتقة مجموع أو فرق اقترانين تساوي مجموع أو فرق مشتقاتهما.

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها تطبيق قاعدة الضرب من جدول.

ج: 1. نطبق القاعدة: (ق × هـ)'(-2) = ق(-2) × هـ'(-2) + هـ(-2) × ق'(-2) 2. التعويض: (5 × 7) + (-1 × -4) 3. النتيجة: 35 + 4 = 39

س: عرّف الاقتران المتزايد.

ج: يكون الاقتران متزايداً على الفترة [أ، ب] إذا كان ق(س_2) > ق(س_1) لكل س_2 > س_1 في الفترة.

س: عرّف الاقتران المتناقص.

ج: يكون الاقتران متناقصاً على الفترة [أ، ب] إذا كان ق(س_2) < ق(س_1) لكل س_2 > س_1 في الفترة.

س: عرّف القيمة القصوى المحلية.

ج: قيمة عظمى أو صغرى للاقتران عند س = أ إذا غيّر الاقتران سلوكه حولها وكان ق'(أ) = 0.

س: عرّف التكامل غير المحدود.

ج: عملية عكسية للتفاضل، يُرمز لها بالرمز ∫، وتنتج عائلة من الاقترانات ق(س) + جـ.

س: عرّف ثابت التكامل (جـ).

ج: عدد حقيقي يضاف إلى ناتج التكامل لتمثيل عائلة الاقترانات الأصلية الناتجة عن اشتقاق الثوابت.

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها تكامل اقتران قوة.

ج: 1. نحدد قيمة ن وهي 3. 2. نطبق القاعدة: ∫ س^ن د س = س^ن+1ن+1 + جـ. 3. النتيجة هي: س^3+13+1 + جـ = (س4)/(4) + جـ.

س: عرّف التكامل المحدود.

ج: هو قيمة تعبر عن التغير في اقتران قابل للاشتقاق على فترة [أ، ب]، ويُعطى بالعلاقة: ∫[أ,ب] ق'(س) د س = ق(ب) - ق(أ).

س: عرّف خاصية الإضافة.

ج: خاصية تسمح بتجزئة التكامل على فترة [أ، ب] إلى تكاملين عبر نقطة وسيطة جـ، حيث أ < جـ < ب.

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها حساب تكامل محدود بسيط.

ج: 1. نجد الاقتران الأصلي: (2x + 5) dx = x2 + 5x. 2. نعوض الحدود: [x2 + 5x]0^2. 3. نحسب الفرق: (22 + 5(2)) - (02 + 5(0)) = (4 + 10) - 0 = 14.

س: عرّف المصفوفة.

ج: تنظيم مستطيل الشكل لأعداد حقيقية على هيئة صفوف (م) وأعمدة (ن)، محصورة بين قوسين.

س: عرّف رتبة المصفوفة.

ج: تعبير عن أبعاد المصفوفة يُكتب على صورة (م × ن)، حيث م عدد الصفوف و ن عدد الأعمدة.

س: عرّف المدخلة.

ج: كل عدد داخل المصفوفة، ويُرمز له بالرمز أ(ي، هـ) حيث ي الصف و هـ العمود.

س: عرّف رتبة المصفوفة.

ج: عدد الصفوف (م) مضروباً في عدد الأعمدة (ن) للمصفوفة.

س: عرّف المصفوفة الصفرية (و).

ج: مصفوفة جميع مدخلاتها أصفار، وتعمل كعنصر محايد في عملية الجمع.

س: عرّف النظير الجمعي.

ج: المصفوفة التي إذا أضيفت للمصفوفة الأصلية كان الناتج المصفوفة الصفرية.

س: عرّف ضرب المصفوفات.

ج: عملية حسابية تعتمد على ضرب صفوف المصفوفة الأولى في أعمدة المصفوفة الثانية وفق شروط محددة للرتبة.

س: عرّف مصفوفة الوحدة.

ج: مصفوفة مربعة عناصر قطرها الرئيسي تساوي 1 وباقي العناصر تساوي 0، وتعمل كعنصر محايد في ضرب المصفوفات.

س: عرّف محدد المصفوفة (|A|).

ج: قيمة عددية حقيقية مرتبطة بالمصفوفة المربعة، تُحسب بالعلاقة: |A| = (a11 × a22) - (a12 × a21).

س: عرّف المصفوفة المنفردة.

ج: هي المصفوفة المربعة التي يكون محددها مساوياً للصفر، وبالتالي ليس لها نظير ضربي.

س: عرّف النظير الضربي (A^-1).

ج: مصفوفة إذا ضُربت في المصفوفة الأصلية A نتجت المصفوفة المحايدة (م2)، بشرط أن تكون A غير منفردة.

س: عرّف قاعدة كريمر (Cramer's Rule).

ج: طريقة لحل نظام من معادلتين خطيتين باستخدام المحددات.

س: عرّف مصفوفة المعاملات (أ).

ج: المصفوفة المكونة من معاملات المتغيرات س و ص في النظام.

س: عرّف محدد المصفوفة (|أ|).

ج: القيمة العددية الناتجة عن ضرب عناصر القطر الرئيسي وطرح حاصل ضرب عناصر القطر الثانوي.

س: عرّف المعادلة الأسية.

ج: معادلة رياضية يظهر فيها المتغير المجهول في موقع الأس.

س: عرّف الأساس.

ج: العدد الذي يتم رفعه إلى قوة معينة (الأس) في التعبير الأسي.

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها حل معادلة أسية بسيطة.

ج: 1. نلاحظ أن 64 = 43. 2. تصبح المعادلة: 4^س = 43. 3. بما أن الأساسات متساوية، فإن الأسس متساوية: س = 3. 4. مجموعة الحل هي 3.

س: عرّف المعادلة اللوغاريتمية.

ج: معادلة رياضية تحتوي على متغير واحد أو أكثر داخل اللوغاريتم.

س: عرّف مقياس ريختر.

ج: مقياس لوغاريتمي يستخدم لقياس شدة الزلازل، حيث تمثل كل زيادة بمقدار درجة واحدة زيادة في سعة الزلزال بمقدار 10 أضعاف.

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها حل معادلة لوغاريتمية بسيطة.

ج: 1. نحدد المعطيات: الأساس هو 2، واللوغاريتم يساوي 3. 2. نحول المعادلة إلى الصورة الأسية: س = 23. 3. نحسب القيمة النهائية: س = 8.

س: عرّف المتسلسلة (Series).

ج: هي مجموع حدود المتتالية (ح ن) المقابلة لها، ويُعبر عنها بالرمز (جـ ن) لمجموع حدودها.

س: عرّف رمز المجموع (Σ).

ج: رمز رياضي يُستخدم لتمثيل مجموع سلسلة من الحدود، حيث يحدد الحد العام والحدود الدنيا والعليا للمجموع.

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها حساب مجموع متسلسلة.

ج: 1. نجد الحدود الثلاثة الأولى: - ح1 = 2(1) - 7 = -5 - ح2 = 2(2) - 7 = -3 - ح3 = 2(3) - 7 = -1 2. نجمع الحدود: (-5) + (-3) + (-1) = -9 3. النتيجة: جـ3 = -9

س: عرّف المتسلسلة الحسابية.

ج: مجموع حدود المتتالية الحسابية المرتبطة بها.

س: عرّف أساس المتتالية (د).

ج: المقدار الثابت الذي يمثل الفرق بين أي حدين متتاليين (ح ن - ح ن-1).

س: عرّف الحد النوني (ح ن).

ج: القيمة في الرتبة (ن) من المتتالية، ويُعطى بالعلاقة: ح ن = أ + (ن - 1)د.

س: عرّف المتسلسلة الهندسية.

ج: هي مجموع حدود المتتالية الهندسية المرتبطة بها.

س: عرّف أساس المتتالية (ل).

ج: هو المقدار الثابت الناتج عن قسمة أي حد على الحد الذي يسبقه مباشرة.

س: عرّف الحد النوني (ح ن).

ج: القيمة التي تأخذها المتتالية عند الرتبة (ن)، ويُعطى بالعلاقة: ح ن = أ × ل^(ن-1).

س: عرّف العلامة المعيارية (ع).

ج: عدد الانحرافات المعيارية التي تنحرفها القيمة (س) عن الوسط الحسابي للبيانات.

س: عرّف الوسط الحسابي (μ).

ج: مجموع القيم مقسوماً على عددها.

س: عرّف الانحراف المعياري (σ).

ج: مقياس لمدى تشتت القيم عن وسطها الحسابي.

س: عرّف التوزيع الطبيعي المعياري.

ج: منحنى تكراري لتوزيع العلامات المعيارية مقابل تكراراتها، بوسط حسابي يساوي صفر وانحراف معياري يساوي واحد.

س: عرّف العلامة المعيارية (ع).

ج: مقياس يحدد موقع القيمة الخام بالنسبة للوسط الحسابي بوحدات الانحراف المعياري، وتُحسب بالعلاقة: ع = (س - )/().

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها حساب المساحة بين قيمتين.

ج: 1. المساحة تحت (ع = -0.8) = 0.2119 2. المساحة تحت (ع = 1.4) = 0.9192 3. المساحة المحصورة = 0.9192 - 0.2119 = 0.7073