أسئلة الرياضيات توجيهي: مع الحل

س: عرّف متوسط التغير.

ج: هو التغير في قيم الاقتران مقسوماً على التغير في قيم المتغير المستقل في فترة معينة.

س: عرّف ميل القاطع.

ج: هو القيمة الهندسية التي تمثل متوسط تغير الاقتران بين نقطتين على منحناه.

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها حساب متوسط التغير جبرياً.

ج: 1. نحدد المعطيات: س_1 = -1، س_2 = 2. 2. نحسب الصور: ق(-1) = (-1)2 - 5(-1) + 3 = 9، ق(2) = (2)2 - 5(2) + 3 = -3. 3. نطبق القانون: (-3 - 9)/(2 - (-1)) = (-12)/(3) = -4.

س: عرّف المشتقة الأولى.

ج: نهاية معدل تغير الاقتران ق(س) عندما تقترب التغير في س من الصفر، وتساوي ميل المماس للمنحنى عند تلك النقطة.

س: عرّف قابلية الاشتقاق.

ج: يكون الاقتران قابلاً للاشتقاق عند س=أ إذا كانت المشتقة من اليمين تساوي المشتقة من اليسار.

س: إذا كان ق(س)=(5س−1)(2−س)، أوجد ق'(−1) باستخدام قاعدة الضرب.

ج: 1. ق'(س)=5(2−س)+(5س−1)(−1). 2. ق'(س)=11−10س. 3. ق'(−1)=21.

س: اكتب قاعدة القسمة.

ج: [ق/هـ]'=[ق'هـ−قه']/هـ²، مع هـ≠0.

س: عرّف المشتقات ذات الرتب العليا.

ج: اشتقاق المشتقة السابقة مرة واحدة أو أكثر للوصول إلى الرتبة المطلوبة.

س: إذا كان ق(س)=س³+س²/(1−س)، أوجد ق'(−1).

ج: 1. ق'(س)=3س²+[2س(1−س)+س²]/(1−س)². 2. نعوّض س=−1. 3. ق'(−1)=9/4.

س: عرّف قاعدة لوبيتال.

ج: قاعدة تستخدم لإيجاد نهاية خارج قسمة اقترانين عندما تؤول النهاية إلى حالة عدم تعيين (0/0) أو (∞/∞) عن طريق اشتقاق البسط والمقام كل على حدة.

س: عرّف الاقتران الأسي الطبيعي.

ج: الاقتران الذي أساسه العدد النيبري e ≈ 2.7182818.

س: عرّف الاقتران اللوغاريتمي الطبيعي.

ج: اللوغاريتم الذي أساسه العدد النيبري e، ويرمز له بـ (س).

س: عرّف ميل المماس.

ج: هو قيمة المشتقة الأولى للاقتران ق(س) عند نقطة التماس (س1، ص1)، ويُرمز له بالرمز م = ق'(س1).

س: عرّف العمودي على المماس.

ج: هو المستقيم العمودي على المماس عند نقطة التماس، وميله يساوي (-1 / ميل المماس).

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها إيجاد معادلة المماس والعمودي.

ج: 1. نجد النقطة: ق(1) = 13 + 5 = 6. النقطة هي (1، 6). 2. نجد الميل: ق'(س) = 3س2، إذن م = ق'(1) = 3(1)2 = 3. 3. معادلة المماس: ص - 6 = 3(س - 1) => ص = 3س + 3. 4. معادلة العمودي: ص - 6 = -1/3(س - 1) => ص = -1/3س + 19/3.

س: عرّف الاقتران المركب.

ج: اقتران ينتج عن تركيب اقترانين، حيث يكون مخرجات الاقتران الأول هي مدخلات للاقتران الثاني.

س: عرّف قاعدة السلسلة.

ج: قاعدة رياضية لاشتقاق الاقترانات المركبة، تنص على أن مشتقة الاقتران المركب هي مشتقة الاقتران الخارجي بالنسبة للاقتران الداخلي مضروبة في مشتقة الاقتران الداخلي.

س: عرّف المتغير الوسيط.

ج: متغير (مثل ع) يُستخدم لربط متغيرين آخرين (مثل ص و س) لتسهيل عملية الاشتقاق.

س: عرّف الدالة الصريحة.

ج: علاقة يكون فيها المتغير التابع (ص) معزولاً في طرف واحد بدلالة المتغير المستقل (س).

س: عرّف الاشتقاق الضمني.

ج: عملية اشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة لـ (س) مباشرة دون الحاجة لعزل (ص) في طرف واحد.

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها مثال محلول: إيجاد المشتقة.

ج: 1. نشتق الطرفين: 2س + 2ص (dy)/(dx) = 4 - (dy)/(dx) 2. نجمع حدود (dy)/(dx): 2ص (dy)/(dx) + (dy)/(dx) = 4 - 2س 3. عامل مشترك: (dy)/(dx) (2ص + 1) = 4 - 2س 4. (dy)/(dx) = (4 - 2س)/(2ص + 1) 5. بالتعويض بالنقطة (1، 1): (dy)/(dx) = (4 - 2(1))/(2(1) + 1) = (2)/(3)

س: عرّف نظرية رول.

ج: إذا كان الاقتران f متصلاً على [a, b] وقابلاً للاشتقاق على (a, b) وكان f(a) = f(b)، فإنه يوجد على الأقل قيمة c في (a, b) بحيث f'(c) = 0.

س: عرّف نظرية القيمة المتوسطة.

ج: إذا كان الاقتران f متصلاً على [a, b] وقابلاً للاشتقاق على (a, b)، فإنه يوجد على الأقل قيمة c في (a, b) بحيث f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a).

س: عرّف الميل.

ج: يمثل ميل المماس للمنحنى عند نقطة معينة، وهو المشتقة الأولى للاقتران عند تلك النقطة.

س: عرّف الاقتران المتزايد.

ج: يكون الاقتران متزايداً في فترة إذا كان لكل س1 < س2 في الفترة، فإن ق(س1) < ق(س2).

س: عرّف الاقتران المتناقص.

ج: يكون الاقتران متناقصاً في فترة إذا كان لكل س1 < س2 في الفترة، فإن ق(س1) > ق(س2).

س: عرّف النقطة الحرجة.

ج: هي النقطة التي يكون عندها المشتقة ق'(س) = 0 أو تكون غير موجودة ضمن مجال الاقتران.

س: عرّف النقطة الحرجة.

ج: تكون النقطة (أ، ق(أ)) نقطة حرجة للاقتران ق(س) إذا كان أ في مجال ق(س)، وكان ق'(أ) = 0 أو ق'(أ) غير موجودة.

س: عرّف القيمة العظمى المطلقة.

ج: قيمة ق(ج) بحيث تكون ق(ج) ≥ ق(س) لجميع قيم س في مجال الاقتران.

س: عرّف القيمة الصغرى المطلقة.

ج: قيمة ق(ج) بحيث تكون ق(ج) ≤ ق(س) لجميع قيم س في مجال الاقتران.

س: عرّف التقعر للأعلى.

ج: يكون الاقتران مقعراً للأعلى في الفترة [أ، ب] إذا كان واقعاً فوق مماساته في تلك الفترة.

س: عرّف التقعر للأسفل.

ج: يكون الاقتران مقعراً للأسفل في الفترة [أ، ب] إذا كان واقعاً تحت مماساته في تلك الفترة.

س: عرّف نقطة الانعطاف.

ج: النقطة التي يغير عندها الاقتران اتجاه تقعره (من الأعلى للأسفل أو العكس) بشرط اتصال الاقتران عندها.

س: عرّف دالة الهدف.

ج: الدالة الرياضية التي تصف الكمية المراد تعظيمها (مثل المساحة) أو تقليلها (مثل التكلفة).

س: عرّف المجال الفيزيائي.

ج: مجموعة القيم الممكنة للمتغيرات في المسألة، والتي تفرضها القيود الواقعية (مثل الأبعاد التي يجب أن تكون موجبة).

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها تعظيم مساحة مستطيل.

ج: 1. العلاقة المساعدة: 2x + 2y = 40 → y = 20 - x. 2. دالة الهدف: A = x × y = x(20 - x) = 20x - x2. 3. الاشتقاق: A' = 20 - 2x. 4. النقاط الحرجة: 20 - 2x = 0 → x = 10. 5. النتيجة: عندما x = 10، فإن y = 10. المساحة العظمى هي 100 cm2.

س: عرّف المصفوفة (Matrix).

ج: تنظيم مستطيل لمجموعة من الأعداد في هيئة صفوف وأعمدة محصورة بين قوسين [ ].

س: عرّف رتبة المصفوفة (Order).

ج: تحدد بـ (م × ن) حيث م هو عدد الصفوف، ون هو عدد الأعمدة.

س: عرّف المصفوفة المربعة.

ج: المصفوفة التي يتساوى فيها عدد الصفوف مع عدد الأعمدة (م = ن).

س: عرّف جمع المصفوفات.

ج: عملية جمع المدخلات المتناظرة لمصفوفتين لهما نفس الرتبة.

س: عرّف المصفوفة الصفرية.

ج: المصفوفة التي جميع مدخلاتها أصفار، وتعمل كعنصر محايد في عملية الجمع.

س: عرّف ضرب المصفوفات.

ج: عملية حسابية تعتمد على ضرب صفوف المصفوفة الأولى في أعمدة المصفوفة الثانية.

س: عرّف المحدد (Determinant).

ج: اقتران يربط المصفوفة المربعة بعدد حقيقي، ويرمز له بالرمز |أ|.

س: عرّف المصفوفة المربعة.

ج: مصفوفة عدد الصفوف فيها يساوي عدد الأعمدة.

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها حساب محدد 2×2.

ج: 1. نحدد عناصر القطر الرئيسي (3، 5) والثانوي (2، 1). 2. نطبق القانون: |أ| = (3 × 5) - (2 × 1). 3. النتيجة: 15 - 2 = 13.

س: عرّف المصفوفة المحايدة (I).

ج: مصفوفة مربعة عناصر قطرها الرئيسي تساوي 1 وبقية العناصر تساوي 0، حيث أ × م = م × أ = أ.

س: عرّف المصفوفة المنفردة.

ج: المصفوفة المربعة التي لا يوجد لها نظير ضربي، وتكون قيمتها المحددة تساوي صفراً (|أ| = 0).

س: عرّف النظير الضربي (أ⁻¹).

ج: مصفوفة إذا ضُربت في المصفوفة الأصلية (أ) من الجهتين كان الناتج المصفوفة المحايدة (أ × أ⁻¹ = أ⁻¹ × أ = م).

س: عرّف المصفوفة المعكوسة (Inverse Matrix).

ج: مصفوفة A^-1 بحيث يكون A × A^-1 = I، حيث I هي مصفوفة الوحدة.

س: عرّف محدد المصفوفة (Determinant).

ج: قيمة عددية مرتبطة بالمصفوفة المربعة، تُستخدم لتحديد قابلية عكس المصفوفة وحل الأنظمة.

س: عرّف قاعدة كرامر (Cramer's Rule).

ج: طريقة لحل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام المحددات.

س: عرّف الاقتران الأصلي (Antiderivative).

ج: إذا كان ق(س) متصلاً في الفترة [أ، ب]، فإن م(س) يسمى اقتراناً أصلياً لـ ق(س) إذا كان م'(س) = ق(س).

س: عرّف التكامل غير المحدود.

ج: مجموعة كل الاقترانات الأصلية للاقتران ق(س)، ويرمز له بالرمز ∫ ق(س) د س = م(س) + ج.

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها إيجاد الاقتران الأصلي.

ج: 1. نشتق م(س): م'(س) = د/د س (1/4 س4). 2. نطبق قاعدة القوة: م'(س) = 4 * (1/4) * س^(4-1) = س3. 3. بما أن م'(س) = ق(س)، إذن م(س) هو اقتران أصلي لـ ق(س).

س: عرّف التكامل غير المحدود.

ج: عملية إيجاد الاقتران الأصلي للاقتران المعطى، ويرمز له بالرمز ∫ ق(س) دس.

س: عرّف ثابت التكامل (ج).

ج: مقدار ثابت يضاف إلى ناتج التكامل ليعبر عن عائلة الاقترانات الأصلية التي تختلف فيما بينها بمقدار ثابت.

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها تكامل دالة كسرية.

ج: 1. نبسط المقدار أولاً: ∫ (س2/س2 + 1/س2) دس = ∫ (1 + س^-2) دس 2. نطبق قاعدة التكامل: ∫ 1 دس + ∫ س^-2 دس 3. النتيجة: س + (س^-1 / -1) + ج = س - (1/س) + ج

س: عرّف ميل المماس.

ج: المشتقة الأولى للاقتران عند نقطة ما، والتي يمثل تكاملها الاقتران الأصلي.

س: عرّف الشروط الأولية.

ج: قيم معلومة للاقتران أو مشتقاته عند نقطة محددة، تُستخدم لإيجاد قيمة ثابت التكامل (ج).

س: عرّف التكامل بالتعويض.

ج: طريقة لتحويل تكامل معقد إلى تكامل أبسط باستخدام متغير وسيط (ع).

س: عرّف التكامل بالتجزئة.

ج: تقنية تعتمد على قاعدة مشتقة حاصل الضرب لعكس العملية وتكامل حاصل ضرب دالتين.

س: عرّف الكسور الجزئية.

ج: تحويل دالة كسرية معقدة إلى مجموع كسور أبسط يسهل تكاملها.

س: عرّف طول الفترة الجزئية (Δ س_ر).

ج: الفرق بين طرفي الفترة الجزئية: Δ س_ر = س_ر - سر-1.

س: عرّف مجموع ريمان.

ج: المقدار ر=1^ن ق(س_ر^*) × Δ س_ر حيث س_ر^* [سر-1، س_ر].

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها حساب مجموع ريمان.

ج: 1. نحدد الفترات الجزئية: [3، 4]، [4، 5]، [5، 6]. 2. نحسب أطوال الفترات: Δ س_1 = 1، Δ س_2 = 1، Δ س_3 = 1. 3. نحسب قيم الاقتران عند النقاط المختارة (النهايات اليمنى): ق(4)=2، ق(5)=3، ق(6)=4. 4. المجموع = (2 × 1) + (3 × 1) + (4 × 1) = 9.

س: عرّف التكامل المحدود.

ج: هو القيمة التي تؤول إليها مجاميع ريمان للاقتران ق(س) على الفترة [أ، ب] عندما يؤول عدد التجزئات إلى ما لا نهاية.

س: عرّف تجزئة الفترة.

ج: تقسيم الفترة [أ، ب] إلى فترات جزئية متساوية الطول باستخدام نقاط تقسيم.

س: عرّف مجموع ريمان.

ج: طريقة لتقريب المساحة تحت المنحنى باستخدام مجموع مساحات مستطيلات صغيرة.

س: عرّف الاقتران الأصلي (الدالة المقابلة).

ج: اقتران م(س) بحيث يكون م'(س) = ق(س) لجميع قيم س في الفترة.

س: عرّف النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.

ج: إذا كان ق(س) متصلاً في [أ، ب] وكان م(س) اقتراناً أصلياً له، فإن أ^ب ق(س) د س = م(ب) - م(أ).

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها حساب تكامل محدود.

ج: 1. نجد الدالة المقابلة: م(س) = س4 - س. 2. نعوض الحدود: [س4 - س]-2^3. 3. الحساب: (34 - 3) - ((-2)4 - (-2)) = (81 - 3) - (16 + 2) = 78 - 18 = 60.

س: عرّف التكامل المحدود.

ج: عملية حسابية تعطي قيمة عددية تمثل المساحة الموجهة تحت منحنى دالة ما ضمن فترة مغلقة [أ، ب].

س: عرّف فترة التكامل.

ج: المجال [أ، ب] الذي يتم فيه حساب التكامل، حيث أ هو الحد الأدنى وب هو الحد الأعلى.

س: عرّف المساحة المحصورة.

ج: القيمة المطلقة لتكامل الفرق بين دالتين على الفترة المعطاة.

س: عرّف طريقة الأقراص.

ج: تقنية لحساب حجم الجسم الدوراني الناتج عن دوران منطقة متصلة بمحور الدوران.

س: عرّف طريقة الحلقات.

ج: تقنية لحساب حجم الجسم الدوراني الناتج عن دوران منطقة محصورة بين منحنيين حول محور دوران.

س: عرّف العدد المركب.

ج: هو مقدار جبري على الشكل ع = س + ت ص حيث س، ص ح و ت = √(-1).

س: عرّف الوحدة التخيلية.

ج: هي العدد ت الذي يحقق ت2 = -1.

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها استخراج الأجزاء.

ج: 1. نوزع المقام: ع = (2)/(2) + √(7)2 ت = 1 + √(7)2 ت 2. الجزء الحقيقي هو 1 3. الجزء التخيلي هو √(7)2

س: عرّف العدد المركب.

ج: عدد يُكتب على الصورة س + ت ص حيث س جزء حقيقي و ص جزء تخيلي.

س: عرّف مرافق العدد المركب.

ج: للعدد ع = س + ت ص، مرافقه هو س - ت ص.

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها مثال على الضرب.

ج: 1. نوزع الأقواس: 3(2) + 3(-5ت) + ت(2) + ت(-5ت) 2. نبسط: 6 - 15ت + 2ت - 5ت2 3. نعوض ت2 = -1: 6 - 13ت - 5(-1) = 6 - 13ت + 5 4. الناتج النهائي: 11 - 13ت

س: عرّف مرافق العدد المركب (Conjugate).

ج: للعدد المركب ع = س + ت ص، مرافقه هو ع̅ = س - ت ص.

س: عرّف مقياس العدد المركب (Modulus).

ج: هو المقدار |ع| = √س² + ص².

س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها مثال: قسمة عددين مركبين.

ج: 1. نضرب البسط والمقام في مرافق المقام (3 - 4ت): [(2 - 3ت)(3 - 4ت)] / [(3 + 4ت)(3 - 4ت)] 2. البسط: 6 - 8ت - 9ت + 12ت² = 6 - 17ت - 12 = -6 - 17ت 3. المقام: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 4. الناتج النهائي: -6/25 - (17/25)ت