بطاقات الرياضيات توجيهي: مراجعة سريعة

ما المقصود بـ متوسط التغير؟

هو التغير في قيم الاقتران مقسوماً على التغير في قيم المتغير المستقل في فترة معينة.

ما المقصود بـ ميل القاطع؟

هو القيمة الهندسية التي تمثل متوسط تغير الاقتران بين نقطتين على منحناه.

ما الفكرة التي يوضحها حساب متوسط التغير جبرياً؟

1. نحدد المعطيات: س_1 = -1، س_2 = 2. 2. نحسب الصور: ق(-1) = (-1)2 - 5(-1) + 3 = 9، ق(2) = (2)2 - 5(2) + 3 = -3. 3. نطبق القانون: (-3 - 9)/(2 - (-1)) = (-12)/(3) = -4.

ما المقصود بـ المشتقة الأولى؟

نهاية معدل تغير الاقتران ق(س) عندما تقترب التغير في س من الصفر، وتساوي ميل المماس للمنحنى عند تلك النقطة.

ما المقصود بـ قابلية الاشتقاق؟

يكون الاقتران قابلاً للاشتقاق عند س=أ إذا كانت المشتقة من اليمين تساوي المشتقة من اليسار.

ما المقصود بقاعدة القسمة؟

قاعدة اشتقاق حاصل قسمة اقترانين: [ق/هـ]'=[ق'هـ−قه']/هـ²، مع هـ≠0.

ما المقصود بالمشتقات ذات الرتب العليا؟

اشتقاق المشتقة السابقة مرة أخرى للوصول إلى الرتبة المطلوبة؛ يطبق المصدر ذلك حتى المشتقة الرابعة.

ما المقصود بـ قاعدة لوبيتال؟

قاعدة تستخدم لإيجاد نهاية خارج قسمة اقترانين عندما تؤول النهاية إلى حالة عدم تعيين (0/0) أو (∞/∞) عن طريق اشتقاق البسط والمقام كل على حدة.

ما المقصود بـ الاقتران الأسي الطبيعي؟

الاقتران الذي أساسه العدد النيبري e ≈ 2.7182818.

ما المقصود بـ الاقتران اللوغاريتمي الطبيعي؟

اللوغاريتم الذي أساسه العدد النيبري e، ويرمز له بـ (س).

ما الفكرة التي يوضحها إيجاد نهاية باستخدام لوبيتال؟

1. التعويض المباشر يعطي (4-4)/(2-2) = (0)/(0) (حالة عدم تعيين). 2. نشتق البسط والمقام: س → 2 (2س)/(1). 3. التعويض بالناتج: 2(2) = 4.

ما المقصود بـ ميل المماس؟

هو قيمة المشتقة الأولى للاقتران ق(س) عند نقطة التماس (س1، ص1)، ويُرمز له بالرمز م = ق'(س1).

ما المقصود بـ العمودي على المماس؟

هو المستقيم العمودي على المماس عند نقطة التماس، وميله يساوي (-1 / ميل المماس).

ما الفكرة التي يوضحها إيجاد معادلة المماس والعمودي؟

1. نجد النقطة: ق(1) = 13 + 5 = 6. النقطة هي (1، 6). 2. نجد الميل: ق'(س) = 3س2، إذن م = ق'(1) = 3(1)2 = 3. 3. معادلة المماس: ص - 6 = 3(س - 1) => ص = 3س + 3. 4. معادلة العمودي: ص - 6 = -1/3(س - 1) => ص = -1/3س + 19/3.

ما المقصود بـ الاقتران المركب؟

اقتران ينتج عن تركيب اقترانين، حيث يكون مخرجات الاقتران الأول هي مدخلات للاقتران الثاني.

ما المقصود بـ قاعدة السلسلة؟

قاعدة رياضية لاشتقاق الاقترانات المركبة، تنص على أن مشتقة الاقتران المركب هي مشتقة الاقتران الخارجي بالنسبة للاقتران الداخلي مضروبة في مشتقة الاقتران الداخلي.

ما المقصود بـ المتغير الوسيط؟

متغير (مثل ع) يُستخدم لربط متغيرين آخرين (مثل ص و س) لتسهيل عملية الاشتقاق.

ما الفكرة التي يوضحها مثال توضيحي لاشتقاق اقتران مركب؟

1. نفرض ع = س2 + 1، فيصبح ص = ع3. 2. نشتق بالنسبة للمتغيرات: (د ص)/(د ع) = 3ع2 و (د ع)/(د س) = 2س. 3. نطبق القاعدة: (د ص)/(د س) = (د ص)/(د ع) × (د ع)/(د س) = 3ع2 × 2س. 4. نعوض قيمة ع: (د ص)/(د س) = 3(س2 + 1)2 × 2س = 6س(س2 + 1)2.

ما المقصود بـ الدالة الصريحة؟

علاقة يكون فيها المتغير التابع (ص) معزولاً في طرف واحد بدلالة المتغير المستقل (س).

ما المقصود بـ الاشتقاق الضمني؟

عملية اشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة لـ (س) مباشرة دون الحاجة لعزل (ص) في طرف واحد.

ما الفكرة التي يوضحها مثال محلول: إيجاد المشتقة؟

1. نشتق الطرفين: 2س + 2ص (dy)/(dx) = 4 - (dy)/(dx) 2. نجمع حدود (dy)/(dx): 2ص (dy)/(dx) + (dy)/(dx) = 4 - 2س 3. عامل مشترك: (dy)/(dx) (2ص + 1) = 4 - 2س 4. (dy)/(dx) = (4 - 2س)/(2ص + 1) 5. بالتعويض بالنقطة (1، 1): (dy)/(dx) = (4 - 2(1))/(2(1) + 1) = (2)/(3)

ما المقصود بـ نظرية رول؟

إذا كان الاقتران f متصلاً على [a, b] وقابلاً للاشتقاق على (a, b) وكان f(a) = f(b)، فإنه يوجد على الأقل قيمة c في (a, b) بحيث f'(c) = 0.

ما المقصود بـ نظرية القيمة المتوسطة؟

إذا كان الاقتران f متصلاً على [a, b] وقابلاً للاشتقاق على (a, b)، فإنه يوجد على الأقل قيمة c في (a, b) بحيث f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a).

ما المقصود بـ الميل؟

يمثل ميل المماس للمنحنى عند نقطة معينة، وهو المشتقة الأولى للاقتران عند تلك النقطة.

ما المقصود بـ الاقتران المتزايد؟

يكون الاقتران متزايداً في فترة إذا كان لكل س1 < س2 في الفترة، فإن ق(س1) < ق(س2).

ما المقصود بـ الاقتران المتناقص؟

يكون الاقتران متناقصاً في فترة إذا كان لكل س1 < س2 في الفترة، فإن ق(س1) > ق(س2).

ما المقصود بـ النقطة الحرجة؟

هي النقطة التي يكون عندها المشتقة ق'(س) = 0 أو تكون غير موجودة ضمن مجال الاقتران.

ما الفكرة التي يوضحها إيجاد فترات التزايد والتناقص؟

1. نشتق الاقتران: ق'(س) = 3س2 - 3. 2. نساوي المشتقة بالصفر: 3(س2 - 1) = 0 → س = 1, س = -1. 3. ندرس إشارة ق'(س) على خط الأعداد: - الفترة (-, -1): إشارة موجبة (متزايد). - الفترة (-1, 1): إشارة سالبة (متناقص). - الفترة (1, ): إشارة موجبة (متزايد).

ما المقصود بـ النقطة الحرجة؟

تكون النقطة (أ، ق(أ)) نقطة حرجة للاقتران ق(س) إذا كان أ في مجال ق(س)، وكان ق'(أ) = 0 أو ق'(أ) غير موجودة.

ما المقصود بـ القيمة العظمى المطلقة؟

قيمة ق(ج) بحيث تكون ق(ج) ≥ ق(س) لجميع قيم س في مجال الاقتران.

ما المقصود بـ القيمة الصغرى المطلقة؟

قيمة ق(ج) بحيث تكون ق(ج) ≤ ق(س) لجميع قيم س في مجال الاقتران.

ما الفكرة التي يوضحها إيجاد القيم القصوى للاقتران كثير الحدود؟

1. نشتق الاقتران: ق'(س) = 3س² + 6س. 2. نساوي المشتقة بالصفر: 3س(س + 2) = 0، إذن س = 0 أو س = -2. 3. نختبر الإشارة: عند س = -2 توجد عظمى محلية، وعند س = 0 توجد صغرى محلية.

ما المقصود بـ التقعر للأعلى؟

يكون الاقتران مقعراً للأعلى في الفترة [أ، ب] إذا كان واقعاً فوق مماساته في تلك الفترة.

ما المقصود بـ التقعر للأسفل؟

يكون الاقتران مقعراً للأسفل في الفترة [أ، ب] إذا كان واقعاً تحت مماساته في تلك الفترة.

ما المقصود بـ نقطة الانعطاف؟

النقطة التي يغير عندها الاقتران اتجاه تقعره (من الأعلى للأسفل أو العكس) بشرط اتصال الاقتران عندها.

ما الفكرة التي يوضحها تحديد فترات التقعر؟

1. نجد المشتقة الأولى: ق'(س) = 3س2 - 6س. 2. نجد المشتقة الثانية: ق''(س) = 6س - 6. 3. نساوي المشتقة الثانية بالصفر: 6س - 6 = 0 → س = 1. 4. ندرس إشارة ق''(س) حول س = 1: - في الفترة [-2, 1) تكون الإشارة سالبة (مقعر للأسفل). - في الفترة (1, 5] تكون الإشارة موجبة (مقعر للأعلى).

ما المقصود بـ دالة الهدف؟

الدالة الرياضية التي تصف الكمية المراد تعظيمها (مثل المساحة) أو تقليلها (مثل التكلفة).

ما المقصود بـ المجال الفيزيائي؟

مجموعة القيم الممكنة للمتغيرات في المسألة، والتي تفرضها القيود الواقعية (مثل الأبعاد التي يجب أن تكون موجبة).

ما الفكرة التي يوضحها تعظيم مساحة مستطيل؟

1. العلاقة المساعدة: 2x + 2y = 40 → y = 20 - x. 2. دالة الهدف: A = x × y = x(20 - x) = 20x - x2. 3. الاشتقاق: A' = 20 - 2x. 4. النقاط الحرجة: 20 - 2x = 0 → x = 10. 5. النتيجة: عندما x = 10، فإن y = 10. المساحة العظمى هي 100 cm2.

ما المقصود بـ المصفوفة (Matrix)؟

تنظيم مستطيل لمجموعة من الأعداد في هيئة صفوف وأعمدة محصورة بين قوسين [ ].

ما المقصود بـ رتبة المصفوفة (Order)؟

تحدد بـ (م × ن) حيث م هو عدد الصفوف، ون هو عدد الأعمدة.

ما المقصود بـ المصفوفة المربعة؟

المصفوفة التي يتساوى فيها عدد الصفوف مع عدد الأعمدة (م = ن).

ما الفكرة التي يوضحها إيجاد قيم المجاهيل في المصفوفات؟

1. نساوي العناصر المتناظرة في المصفوفتين أ و ب. 2. نجد أن س = 2 من خلال مقارنة العنصر في الصف الأول والعمود الأول. 3. نجد أن ص2 = 4، ومنها ص = ±2 من خلال مقارنة العنصر في الصف الثاني والعمود الثاني.

ما المقصود بـ جمع المصفوفات؟

عملية جمع المدخلات المتناظرة لمصفوفتين لهما نفس الرتبة.

ما المقصود بـ المصفوفة الصفرية؟

المصفوفة التي جميع مدخلاتها أصفار، وتعمل كعنصر محايد في عملية الجمع.

ما المقصود بـ ضرب المصفوفات؟

عملية حسابية تعتمد على ضرب صفوف المصفوفة الأولى في أعمدة المصفوفة الثانية.

ما الفكرة التي يوضحها مثال على ضرب المصفوفات؟

1. نتحقق من الرتب: 2 × 2 و 2 × 2، الضرب ممكن. 2. نضرب الصف الأول في العمود الأول: (2 × 5) + (1 × 6) = 16. 3. نضرب الصف الأول في العمود الثاني: (2 × -3) + (1 × 1) = -5. 4. نكرر للسطر الثاني لنحصل على المصفوفة الناتجة.

ما المقصود بـ المحدد (Determinant)؟

اقتران يربط المصفوفة المربعة بعدد حقيقي، ويرمز له بالرمز |أ|.

ما المقصود بـ المصفوفة المربعة؟

مصفوفة عدد الصفوف فيها يساوي عدد الأعمدة.

ما الفكرة التي يوضحها حساب محدد 2×2؟

1. نحدد عناصر القطر الرئيسي (3، 5) والثانوي (2، 1). 2. نطبق القانون: |أ| = (3 × 5) - (2 × 1). 3. النتيجة: 15 - 2 = 13.

ما المقصود بـ المصفوفة المحايدة (I)؟

مصفوفة مربعة عناصر قطرها الرئيسي تساوي 1 وبقية العناصر تساوي 0، حيث أ × م = م × أ = أ.

ما المقصود بـ المصفوفة المنفردة؟

المصفوفة المربعة التي لا يوجد لها نظير ضربي، وتكون قيمتها المحددة تساوي صفراً (|أ| = 0).

ما المقصود بـ النظير الضربي (أ⁻¹)؟

مصفوفة إذا ضُربت في المصفوفة الأصلية (أ) من الجهتين كان الناتج المصفوفة المحايدة (أ × أ⁻¹ = أ⁻¹ × أ = م).

ما المقصود بـ المصفوفة المعكوسة (Inverse Matrix)؟

مصفوفة A^-1 بحيث يكون A × A^-1 = I، حيث I هي مصفوفة الوحدة.

ما المقصود بـ محدد المصفوفة (Determinant)؟

قيمة عددية مرتبطة بالمصفوفة المربعة، تُستخدم لتحديد قابلية عكس المصفوفة وحل الأنظمة.

ما المقصود بـ قاعدة كرامر (Cramer's Rule)؟

طريقة لحل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام المحددات.

ما المقصود بـ الاقتران الأصلي (Antiderivative)؟

إذا كان ق(س) متصلاً في الفترة [أ، ب]، فإن م(س) يسمى اقتراناً أصلياً لـ ق(س) إذا كان م'(س) = ق(س).

ما المقصود بـ التكامل غير المحدود؟

مجموعة كل الاقترانات الأصلية للاقتران ق(س)، ويرمز له بالرمز ∫ ق(س) د س = م(س) + ج.

ما الفكرة التي يوضحها إيجاد الاقتران الأصلي؟

1. نشتق م(س): م'(س) = د/د س (1/4 س4). 2. نطبق قاعدة القوة: م'(س) = 4 * (1/4) * س^(4-1) = س3. 3. بما أن م'(س) = ق(س)، إذن م(س) هو اقتران أصلي لـ ق(س).

ما الفكرة التي يوضحها استخدام الشروط الأولية؟

1. نجد ق(س) من خلال اشتقاق الطرفين: ق(س) = هـ^س. 2. نستخدم الشرط ق(0) = 3 لإيجاد ج: هـ0 + ج = 3 => 1 + ج = 3 => ج = 2. 3. يصبح الاقتران: ق(س) = هـ^س + 2. 4. نحسب ق(1) = هـ1 + 2 = هـ + 2.

ما المقصود بـ التكامل غير المحدود؟

عملية إيجاد الاقتران الأصلي للاقتران المعطى، ويرمز له بالرمز ∫ ق(س) دس.

ما المقصود بـ ثابت التكامل (ج)؟

مقدار ثابت يضاف إلى ناتج التكامل ليعبر عن عائلة الاقترانات الأصلية التي تختلف فيما بينها بمقدار ثابت.

ما الفكرة التي يوضحها تكامل دالة كسرية؟

1. نبسط المقدار أولاً: ∫ (س2/س2 + 1/س2) دس = ∫ (1 + س^-2) دس 2. نطبق قاعدة التكامل: ∫ 1 دس + ∫ س^-2 دس 3. النتيجة: س + (س^-1 / -1) + ج = س - (1/س) + ج

ما المقصود بـ ميل المماس؟

المشتقة الأولى للاقتران عند نقطة ما، والتي يمثل تكاملها الاقتران الأصلي.

ما المقصود بـ الشروط الأولية؟

قيم معلومة للاقتران أو مشتقاته عند نقطة محددة، تُستخدم لإيجاد قيمة ثابت التكامل (ج).

ما المقصود بـ التكامل بالتعويض؟

طريقة لتحويل تكامل معقد إلى تكامل أبسط باستخدام متغير وسيط (ع).

ما المقصود بـ التكامل بالتجزئة؟

تقنية تعتمد على قاعدة مشتقة حاصل الضرب لعكس العملية وتكامل حاصل ضرب دالتين.

ما المقصود بـ الكسور الجزئية؟

تحويل دالة كسرية معقدة إلى مجموع كسور أبسط يسهل تكاملها.

ما المقصود بـ طول الفترة الجزئية (Δ س_ر)؟

الفرق بين طرفي الفترة الجزئية: Δ س_ر = س_ر - سر-1.

ما المقصود بـ مجموع ريمان؟

المقدار ر=1^ن ق(س_ر^*) × Δ س_ر حيث س_ر^* [سر-1، س_ر].

ما الفكرة التي يوضحها حساب مجموع ريمان؟

1. نحدد الفترات الجزئية: [3، 4]، [4، 5]، [5، 6]. 2. نحسب أطوال الفترات: Δ س_1 = 1، Δ س_2 = 1، Δ س_3 = 1. 3. نحسب قيم الاقتران عند النقاط المختارة (النهايات اليمنى): ق(4)=2، ق(5)=3، ق(6)=4. 4. المجموع = (2 × 1) + (3 × 1) + (4 × 1) = 9.

ما المقصود بـ التكامل المحدود؟

هو القيمة التي تؤول إليها مجاميع ريمان للاقتران ق(س) على الفترة [أ، ب] عندما يؤول عدد التجزئات إلى ما لا نهاية.

ما المقصود بـ تجزئة الفترة؟

تقسيم الفترة [أ، ب] إلى فترات جزئية متساوية الطول باستخدام نقاط تقسيم.

ما المقصود بـ مجموع ريمان؟

طريقة لتقريب المساحة تحت المنحنى باستخدام مجموع مساحات مستطيلات صغيرة.

ما الفكرة التي يوضحها حساب تكامل باستخدام التعريف؟

1. نحدد المعطيات: أ=0، ب=3، ق(س)=5-4س. 2. نحسب طول الفترة: (3-0)/(ن) = (3)/(ن). 3. نجد س_ر^* = 0 + ر((3)/(ن)) = (3ر)/(ن). 4. نعوض في المجموع: ن → ر=1^ن (5 - 4((3ر)/(ن))) × (3)/(ن). 5. نبسط المجموع ونحسب النهاية لتصل إلى النتيجة النهائية -3.

ما المقصود بـ الاقتران الأصلي (الدالة المقابلة)؟

اقتران م(س) بحيث يكون م'(س) = ق(س) لجميع قيم س في الفترة.

ما المقصود بـ النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل؟

إذا كان ق(س) متصلاً في [أ، ب] وكان م(س) اقتراناً أصلياً له، فإن أ^ب ق(س) د س = م(ب) - م(أ).

ما الفكرة التي يوضحها حساب تكامل محدود؟

1. نجد الدالة المقابلة: م(س) = س4 - س. 2. نعوض الحدود: [س4 - س]-2^3. 3. الحساب: (34 - 3) - ((-2)4 - (-2)) = (81 - 3) - (16 + 2) = 78 - 18 = 60.

ما المقصود بـ التكامل المحدود؟

عملية حسابية تعطي قيمة عددية تمثل المساحة الموجهة تحت منحنى دالة ما ضمن فترة مغلقة [أ، ب].

ما المقصود بـ فترة التكامل؟

المجال [أ، ب] الذي يتم فيه حساب التكامل، حيث أ هو الحد الأدنى وب هو الحد الأعلى.

ما المقصود بـ المساحة المحصورة؟

القيمة المطلقة لتكامل الفرق بين دالتين على الفترة المعطاة.

ما المقصود بـ طريقة الأقراص؟

تقنية لحساب حجم الجسم الدوراني الناتج عن دوران منطقة متصلة بمحور الدوران.

ما المقصود بـ طريقة الحلقات؟

تقنية لحساب حجم الجسم الدوراني الناتج عن دوران منطقة محصورة بين منحنيين حول محور دوران.

ما المقصود بـ العدد المركب؟

هو مقدار جبري على الشكل ع = س + ت ص حيث س، ص ح و ت = √(-1).

ما المقصود بـ الوحدة التخيلية؟

هي العدد ت الذي يحقق ت2 = -1.

ما الفكرة التي يوضحها استخراج الأجزاء؟

1. نوزع المقام: ع = (2)/(2) + √(7)2 ت = 1 + √(7)2 ت 2. الجزء الحقيقي هو 1 3. الجزء التخيلي هو √(7)2

ما المقصود بـ العدد المركب؟

عدد يُكتب على الصورة س + ت ص حيث س جزء حقيقي و ص جزء تخيلي.

ما المقصود بـ مرافق العدد المركب؟

للعدد ع = س + ت ص، مرافقه هو س - ت ص.

ما الفكرة التي يوضحها مثال على الضرب؟

1. نوزع الأقواس: 3(2) + 3(-5ت) + ت(2) + ت(-5ت) 2. نبسط: 6 - 15ت + 2ت - 5ت2 3. نعوض ت2 = -1: 6 - 13ت - 5(-1) = 6 - 13ت + 5 4. الناتج النهائي: 11 - 13ت

ما المقصود بـ مرافق العدد المركب (Conjugate)؟

للعدد المركب ع = س + ت ص، مرافقه هو ع̅ = س - ت ص.

ما المقصود بـ مقياس العدد المركب (Modulus)؟

هو المقدار |ع| = √س² + ص².

ما الفكرة التي يوضحها مثال: قسمة عددين مركبين؟

1. نضرب البسط والمقام في مرافق المقام (3 - 4ت): [(2 - 3ت)(3 - 4ت)] / [(3 + 4ت)(3 - 4ت)] 2. البسط: 6 - 8ت - 9ت + 12ت² = 6 - 17ت - 12 = -6 - 17ت 3. المقام: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 4. الناتج النهائي: -6/25 - (17/25)ت