بطاقات رياضيات الأعمال توجيهي: مراجعة سريعة

عرّف المصفوفة

هي ترتيب على هيئة مستطيل لأعداد أو مُتغيِّرات في صفوف وأعمدة محصورة بين قوسين من النوع [ ].

بيّن كيف تُحدد رتبة المصفوفة

تُحدد رتبة المصفوفة بكتابة عدد صفوفها (m) مضروباً في عدد أعمدتها (n) على الصورة m × n.

علّل: رتبة المصفوفة 3 × 2 لا تعني عملية ضرب

لأن رتبة المصفوفة هي وصف لأبعادها (عدد الصفوف والأعمدة) وليست تعبيراً حسابياً لعملية ضرب.

عدّد أنواع المصفوفات الخاصة المذكورة في الدرس

مصفوفة الصف، مصفوفة العمود، المصفوفة المُرَبَّعة، والمصفوفة الصفرية.

بيّن شرط جمع أو طرح مصفوفتين.

يُمكن جمع أو طرح المصفوفات إذا وفقط إذا كانت لهما الرتبة نفسها.

علّل: لا يمكن جمع المصفوفة A التي رتبتها 2×3 مع المصفوفة B التي رتبتها 3×2.

لأن المصفوفات يجب أن تكون من الرتبة نفسها ليتم جمعهما بجمع العناصر المتناظرة.

بيّن كيف يتم ضرب مصفوفة في عدد ثابت k.

يتم ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في هذا العدد الثابت k.

عدّد خصائص العمليات على المصفوفات (للمصفوفات ذات الرتبة نفسها).

1. الخاصية التبديلية لجمع المصفوفات (A+B=B+A). 2. الخاصية التجميعية لجمع المصفوفات ((A+B)+C=A+(B+C)). 3. خاصية توزيع الضرب في ثابت (k(A+B)=kA+kB).

ما شرط إمكانية ضرب المصفوفة A في المصفوفة B؟

يُمكن ضرب المصفوفتين إذا وفقط إذا كان عدد أعمدة المصفوفة الأولى (A) مساويًا لعدد صفوف المصفوفة الثانية (B).

إذا كانت رتبة المصفوفة A هي m × n ورتبة المصفوفة B هي n × r، فما رتبة المصفوفة الناتجة AB؟

رتبة المصفوفة الناتجة هي m × r.

علّل: تختلف عملية ضرب المصفوفات عن عمليتي الجمع والطرح.

لأن عملية ضرب المصفوفات لا تعتمد على ضرب العناصر المتناظرة في بعضها كما في الجمع والطرح، بل تعتمد على مجموع نواتج ضرب عناصر الصف من المصفوفة الأولى في العناصر المتناظرة لها في العمود من المصفوفة الثانية.

بيّن كيف يتم حساب العنصر الواقع في الصف i والعمود j في المصفوفة الناتجة C = AB.

يساوي مجموع نواتج ضرب عناصر الصف i من المصفوفة A في العناصر المتناظرة لها في العمود j من المصفوفة B.

بيّن كيف تُحسب قيمة مُحدّدة المصفوفة من الدرجة الثانية.

تساوي قيمة المُحددة ناتج ضرب عنصري القُطر الرئيس مطروحاً منه ناتج ضرب عنصري القُطر الآخر، وتُكتب بالرموز: |a b / c d| = ad - bc.

رتّب خطوات حساب مُحدّدة الدرجة الثالثة باستعمال قاعدة الأقطار.

1. إعادة كتابة العمودين الأول والثاني على يمين المُحددة. 2. إيجاد مجموع نواتج ضرب عناصر القُطر الرئيس والموازيات الحمراء. 3. إيجاد مجموع نواتج ضرب عناصر القُطر الآخر والموازيات الزرقاء. 4. طرح ناتج الخطوة 3 من ناتج الخطوة 2.

علّل: متى يتعذر إيجاد حل لنظام معادلات خطية باستخدام قاعدة كريمر؟

يتعذر إيجاد حل وحيد إذا كانت مُحددة مصفوفة المعاملات (D) تساوي صفراً، حيث يكون للنظام إما عدد لا نهائي من الحلول أو لا يوجد حل.

مِمَّ تتكوّن مصفوفة المعاملات لنظام معادلات خطية بمتغيرين؟

تتكون من معاملات المتغيرين x وy في معادلات النظام المكتوبة على الصورة ax + by = c.

عرّف مصفوفة الوحدة (I)

هي مصفوفة مربعة جميع عناصر قطرها الرئيس 1، وبقية عناصرها أصفار، وتمتاز بخاصية أنها العنصر المحايد لعملية ضرب المصفوفات.

علّل: متى تُسمّى المصفوفة مصفوفة منفردة (singular matrix)؟

تُسمّى المصفوفة منفردة إذا كانت قيمة مُحدّدتها تساوي صفراً، وفي هذه الحالة لا يوجد لها نظير ضربي.

عدّد خطوات إيجاد النظير الضربي لمصفوفة من الرتبة 2×2

1. تبديل موقع عنصري القطر الرئيس. 2. ضرب عنصري القطر الآخر في (1-). 3. ضرب المصفوفة الناتجة في مقلوب قيمة المُحدّدة (1/|A|).

بيّن صيغة حل المعادلة المصفوفية AX = B

يتم حلها بضرب الطرفين من اليسار في النظير الضربي للمصفوفة A، فتصبح الصيغة: X = A⁻¹B.

مِمَّ يتكوَّن مُخطَّط سَيْر العمليات؟

يتكوَّن من أشكال هندسية مُرتبطة بأسهم وخطوط تَصِف خطوات الخوارزمية وسَيْر العمليات فيها.

بيّن دلالة الأشكال الهندسية في مُخطَّط سَيْر العمليات.

المعين: قرار، المستطيل: تعليمات، متوازي الأضلاع: إدخال/إخراج، البيضاوي: البداية/النهاية.

علّل: لماذا يُستعمل جدول التتبُّع في الخوارزميات شبه الرمزية؟

لأن تتبُّع الخوارزمية المكتوبة بهذه الطريقة يكون صعبًا في بعض الأحيان ويحتاج إلى تنظيم لتدوين القيمة الناتجة من كل خطوة.

عدّد حالات المُميِّز (Δ) في خوارزمية حل المعادلة التربيعية.

إذا كان موجبًا: يوجد حلَّان حقيقيان، إذا كان صفرًا: يوجد حل حقيقي واحد، إذا كان سالبًا: لا توجد حلول حقيقية.

بيّن خطوات إيجاد الحد الأدنى من عدد الصناديق اللازمة لتعبئة العلب.

أولاً: أجد مجموع ارتفاعات العلب. ثانياً: أقسم مجموع ارتفاعات العلب على ارتفاع الصندوق الواحد، ثم أقرب الناتج إلى الأعلى.

علّل: لماذا يُقرَّب الناتج إلى الأعلى عند حساب الحد الأدنى من عدد الصناديق؟

لأننا نجد بهذه الطريقة الحد الأدنى من عدد الصناديق اللازمة، وهذا العدد قد لا يكون كافياً من الناحية العملية.

عدّد خطوات خوارزمية الملاءمة الأولى (first-fit).

1. إيجاد الحد الأدنى من عدد الصناديق. 2. اتباع ترتيب العناصر المعطى. 3. وضع كل عنصر في أول صندوق متوافر يتسع له. 4. إضافة صندوق جديد إذا لم يتسع أي صندوق للعنصر.

رتّب خطوات خوارزمية الملاءمة الأولى المتناقصة.

1. ترتيب مقاسات العناصر تنازلياً. 2. تطبيق خوارزمية الملاءمة الأولى على العناصر بعد إعادة ترتيبها.

بيّن المقصود بالمُخطَّط (graph)؟

وسيلة تُظهر كيف ترتبط الأشياء المختلفة بصرياً، بحيث يُعَبَّر عن هذه الأشياء بعُقَد تُسمّى الرؤوس، ويُعَبَّر عن الروابط بين الرؤوس بخطوط أو منحنيات متصلة تُسمّى الحافات.

علّل: لماذا تقاطع حافتين في المُخطَّط لا يُمثِّل رأسًا؟

لأن الرؤوس هي العقد التي تُمثل الأشياء، والحافات هي الروابط بينها، والتقاطع البصري للحافات لا يعني وجود رابط أو عقدة في نقطة التقاطع.

مِمَّ يتكوّن المُخطَّط الموزون؟

يتكون من رؤوس وحافات، مع وجود قيمة مُقترنة بكل حافة تُسمى وزن الحافة، وتُمثل مقاييس مثل المسافة أو التكلفة أو الزمن.

رتّب المفاهيم الآتية من حيث الشمول (من الأكثر تقييداً إلى الأكثر عمومية): الطريق، الممر، الممشى.

الطريق (لا يتكرر فيه رأس)، الممر (لا تتكرر فيه حافة)، الممشى (سلسلة حافات يمكن تكرار الرؤوس والحافات فيها).

علّل: يُعد المخطط بسيطاً؟

لأنه لا يحوي حلقات أو حافات متعدّدة.

بيّن المقصود بالمخطط المتصل.

هو مخطط يمتاز بوجود طريق يصل بين كل رأسين من رؤوسه.

مِمَّ يتكوّن المخطط الجزئي؟

يتكوّن من رؤوس وحافات تنتمي جميعها إلى المخطط الأصلي.

قارن بين المخطط الكامل والمخطط المكمّل من حيث الحافات.

المخطط الكامل يتصل فيه كل رأسين بحافة واحدة، أما المخطط المكمّل فيحتوي على الحافات الموجودة في المخطط الكامل وغير الموجودة في المخطط الأصلي.

عرّف المُخطَّط الأويلري.

هو المُخطَّط المتصل الذي يحتوي على دارة أويلر (ممر يبدأ وينتهي بالرأس نفسه ويشمل جميع الحافات من دون تكرار).

عرّف المُخطَّط شبه الأويلري.

هو المُخطَّط المتصل الذي يحوي ممرًّا يشمل جميع حافاته من دون تكرار، ورأس بدايته مختلف عن رأس نهايته.

قارن بين شروط كون المُخطَّط أويلريًّا أو شبه أويلري من حيث درجات الرؤوس.

يكون المُخطَّط أويلريًّا إذا كانت درجة كل رأس من رؤوسه زوجية، ويكون شبه أويلري إذا كان يحوي رأسين فقط درجة كل منهما فردية.

علّل: متى لا يكون المُخطَّط أويلريًّا ولا شبه أويلري؟

إذا كان عدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية أكثر من رأسين، أو إذا لم يكن المُخطَّط متصلًا.

نظام المتباينات الخطيَّة

نظام يتكوَّن من متباينتين خطيَّتين أو أكثر.

مجموعة الحلُّ

مجموعة الأزواج المرتَّبة التي تُحقِّق جميع المتباينات في النظام.

علّل: متى يكون المستقيم الحدودي متقطعاً؟

إذا تضمَّنت المتباينة رمز < أو >، فإنَّ المستقيم الحدودي لا يدخل ضمن منطقة الحلُّ ويكون متقطعاً.

رتّب خطوات حل نظام متباينات خطية بيانيًا

1. تمثيل كل متباينة بيانيًا في المستوى الإحداثي نفسه. 2. تظليل المنطقة المشتركة بين مناطق حل المتباينات.

عرّف البرمجة الخطية

طريقة تعتمد التمثيل البياني في المستوى الإحداثي لإيجاد أكبر قيمة ممكنة أو أصغر قيمة ممكنة لاقتران الهدف ضمن مجموعة قيود تُمثَّل بمتباينات خطية.

مِمَّ تتكوَّن مسألة البرمجة الخطية؟

تتكون من: 1. الاقتران الهدف (P = ax + by)، 2. القيود (نظام من المتباينات الخطية).

رتّب خطوات حل مسائل البرمجة الخطية

1. صياغة الفرضيات وكتابة اقتران الهدف والقيود. 2. تمثيل نظام المتباينات بيانيًا وتظليل منطقة الحلول الممكنة. 3. تحديد إحداثيات رؤوس منطقة الحلول الممكنة. 4. اختيار القيمة العظمى أو الصغرى بتعويض الرؤوس في اقتران الهدف.

علّل: لماذا تُستعمل البرمجة الخطية في الشركات الصناعية والتجارية؟

لتخفيض الكلفة، وزيادة الإنتاجية، وتحقيق أكبر ربح ممكن ضمن قيود ومحددات معينة مثل التمويل وعدد العمال وساعات العمل.

عرّف المتغير المستقل والمتغير التابع.

المتغير المستقل هو متغير يتم اختياره أو التحكم فيه، أما المتغير التابع فهو متغير يتم قياسه بناءً على المتغير المستقل.

بيّن المقصود بشكل الانتشار.

هو شكل ينتج عن عرض البيانات في صورة أزواج مرتبة (x, y) وتمثيلها كنقاط في المستوى الإحداثي.

علّل: لماذا يُعد معامل ارتباط بيرسون مقياساً أدق من شكل الانتشار؟

لأنه يوفر مقياساً عددياً يحدد تحديداً دقيقاً قوة العلاقة الخطية بين مجموعتين من البيانات واتجاهها.

صنّف أنواع الارتباط بناءً على قيمة معامل ارتباط بيرسون (r).

ارتباط موجب (زيادة أحد المتغيرين تؤدي لزيادة الآخر)، ارتباط سالب (زيادة أحد المتغيرين تؤدي لنقصان الآخر)، وارتباط معدوم (r=0).

عرّف السلسلة الزمنية (Time Series).

هي تسلسل من البيانات التي تُجمع أو تُدوَّن عند نقاط زمنية مُتتابعة، وتكون عادةً على فترات مُنتظمة.

مِمَّ يتكوّن التمثيل البياني للسلسلة الزمنية؟

يُمثِّل الزمن على المحور الأفقي (x)، وتُمثَّل قيم الظاهرة المدروسة على المحور الرأسي (y)، مع توصيل النقاط بقطع مستقيمة مُتقطعة.

علّل: لماذا نصل بين النقاط في السلسلة الزمنية بقطع مستقيمة مُتقطعة؟

لعدم وجود معلومات عن قيم الظاهرة في الأوقات التي تقع بين نهايتي كل فترتين زمنيتين متتاليتين.

عرّف السلسلة الزمنية رُبع السنوية.

هي سلسلة زمنية تُدوَّن بياناتها على فترات زمنية كل ثلاثة أشهر، وتُستعمل لفهم الأنماط الموسمية والدورية.

عرّف الأوساط المُتحرّكة (Moving averages)

هي قِيَم جديدة تُحسَب بأخذ الوسط الحسابي لعدد من المُشاهدات المُتتالية ضمن السلسلة الزمنية، بهدف تقليل تأثير التذبذبات الموسمية والعشوائية، وتوضيح الاتجاه العام.

علّل: لماذا تُستعمل الأوساط المُتحرّكة ذات النقاط الأربع؟

تُستعمل لمعالجة مشكلة وجود العديد من القِيَم العظمى والقِيَم الصغرى التي تُصعّب رسم خط الاتجاه، ولتقليل تأثير التذبذبات الموسمية والعشوائية وتوضيح الاتجاه العام.

بيّن شرط استعمال الأوساط المُتحرّكة في السلاسل الزمنية.

يُشترط أن تشمل المُشاهدات المُستعملة دورة فصلية كاملة؛ أي أن تشمل مُشاهدة واحدة من كل فصل.

رتّب خطوات رسم خط الاتجاه العام باستعمال الأوساط المُتحرّكة.

1. تمثيل السلسلة بيانيًّا. 2. إيجاد منتصفات الفترات الزمنية وإيجاد الأوساط المُتحرّكة. 3. تعيين نقطة لكل وسط حسابي مُتحرِّك مقابل منتصف الفترة. 4. رسم المستقيم الأفضل مطابقة لنقاط الأوساط المُتحرّكة.

مِمَّ تتكوّن شروط التجربة الاحتمالية الهندسية؟

1. محاولات مستقلة ومتكررة، 2. فرز النتائج إلى نجاح أو فشل، 3. ثبات احتمال النجاح في كل محاولة، 4. التوقف عند أول نجاح.

بيّن القاعدة الرياضية للتوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي الهندسي X ~ Geo(p).

P(X = x) = p(1-p)^(x-1)، حيث x عدد المحاولات وصولاً لأول نجاح، وp احتمال النجاح.

علّل: لماذا لا تُعد تجربة سحب 4 كرات من صندوق دون إرجاع تجربة احتمالية هندسية؟

لأن المحاولات غير مستقلة؛ حيث تتأثر نتيجة سحب كل كرة بنتائج سحب الكرات السابقة بسبب عدم الإرجاع.

بيّن قانون التوقّع E(X) للمتغير العشوائي الهندسي.

E(X) = 1/p، حيث p هو احتمال النجاح الثابت في كل محاولة.

بيّن شروط التجربة الاحتمالية ذات الحدّين.

1. اشتمال التجربة على محاولات مستقلة ومُتكرِّرة. 2. فرز النتائج المُمكِنة في كل محاولة إلى نجاح أو فشل. 3. ثبات احتمال النجاح في كل محاولة. 4. وجود عدد مُحدَّد من المحاولات في التجربة.

قارن بين التجربة ذات الحدّين والتجربة الهندسية.

تختلف تجربة ذات الحدّين عن التجربة الهندسية باحتوائها على عدد محدود من تكرار المحاولات، أما في التجربة الهندسية فإن التجربة تستمر حتى إحراز أوّل نجاح.

مِمَّ يتكوّن التوزيع الاحتمالي للمتغيّر العشوائي ذي الحدّين؟

يتكوّن من الصيغة: P(X = r) = (n r) pr (1-p)^(n-r)، حيث n عدد المحاولات، p احتمال النجاح، r عدد المحاولات الناجحة.

عدّد الرموز المستخدمة للتعبير عن توافيق n من العناصر التي أُخذ منها r.

C(n, r)، (n r)، nCr.

عدّد خصائص المنحنى الطبيعي.

منحنى متصل له شكل الجرس، تتطابق فيه قيم الوسط الحسابي والوسيط والمنوال، تتماثل البيانات حول الوسط الحسابي، يقترب المنحنى عند طرفيه من المحور x دون أن يمسه، والمساحة الكلية أسفل المنحنى تساوي 1.

علّل: زيادة الانحراف المعياري (σ) من 1 إلى 2 في المنحنى الطبيعي تؤدي إلى توسع المنحنى أفقيًا.

لأن زيادة الانحراف المعياري تعني تشتتًا أكبر للبيانات حول الوسط الحسابي، مما يؤدي إلى توسع المنحنى أفقيًا دون التأثير في مركز البيانات.

بيّن النسبة المئوية للبيانات التي تقع بين μ-2σ و μ+2σ وفق القاعدة التجريبية.

95% من البيانات تقريبًا تقع بين μ-2σ و μ+2σ.

مِمَّ يتكون الرمز X ~ N(μ, σ²)؟

يتكون من μ التي تمثل الوسط الحسابي، وσ² التي تمثل مربع الانحراف المعياري.

ما التوزيع الطبيعي المعياري؟

توزيع طبيعي وسطه 0 وانحرافه المعياري 1، متغيّره Z.

بأي رمز يُرمز للمتغيّر العشوائي المعياري؟

بالرمز Z، حيث Z N(0,1).

ماذا يعطي جدول التوزيع المعياري؟

المساحة يسار z أي P(Z<z).

هل يمكن أن تكون القيمة المعيارية z سالبة؟

نعم، z تقيس البُعد عن الوسط وقد تكون سالبة (يسار الوسط).

ما صيغة التحويل المعياري؟

z=(x-)/().

ماذا يصبح الوسط والانحراف بعد المعيرة؟

الوسط 0 والانحراف 1.

كيف تحسب P(a<X<b) بالجدول؟

عيّر الحدّين ثم P(Z<z_2)-P(Z<z_1).

لماذا نعيّر التوزيع الطبيعي؟

لتوحيد كل المسائل إلى توزيع معياري واحد له جدول واحد.

علّل: العينة التي تختار كل خامس شخص يزور صالة رياضية لسؤاله عن عاداته الصحية تُعد عينة متحيزة.

لأن المشاركين فيها مختارون من صالة رياضية، ومن ثم يُحتمل أن تكون لديهم عادات صحية جيدة، وهذا لا يعكس واقع المجتمع.

بيّن الفرق بين الإحصائي والمعلمة.

الإحصائي مقياس يصف إحدى خصائص العينة ويمكن أن تتغير قيمته من عينة لأخرى، أما المعلمة فهي مقياس يصف إحدى خصائص المجتمع ولا تتغير قيمتها.

عدّد أنواع العينات العشوائية الثلاثة الشائعة.

1. العينة العشوائية البسيطة، 2. العينة العشوائية المنتظمة، 3. العينة العشوائية الطبقية.

مِمَّ يتكون توزيع الأوساط الحسابية للعينات؟

يتكون من قيم الأوساط الحسابية لعينات عشوائية متساوية في الحجم ومأخوذة من المجتمع.

بيّن شروط تقريب توزيع ذي الحدين إلى توزيع طبيعي.

يُمكن استعمال التوزيع الطبيعي في تقريب توزيع ذي الحدين إذا كان حجم العينة n كبيرًا بما يكفي لجعل np ≥ 5 و n(1-p) ≥ 5.

رتّب خطوات تقريب توزيع ذي الحدين باستعمال التوزيع الطبيعي.

1. إيجاد الوسط الحسابي والانحراف المعياري لتوزيع ذي الحدين. 2. التعبير عن المسألة برموز المتغير العشوائي X. 3. إيجاد عامل تصحيح الاستمرارية وإعادة كتابة المسألة برموز المتغير العشوائي Y. 4. إيجاد قيم z واستعمال جدول التوزيع الطبيعي لإيجاد الاحتمال.

قارن بين التوزيع الطبيعي وتوزيع ذي الحدين من حيث طبيعة المتغير.

توزيع ذي الحدين هو توزيع مُنفصل، بينما التوزيع الطبيعي هو توزيع متصل.

علّل: لماذا نستخدم عامل تصحيح الاستمرارية عند تقريب توزيع ذي الحدين؟

لأن توزيع ذي الحدين مُنفصل والتوزيع الطبيعي متصل، فنحتاج لطرح أو إضافة 0.5 للانتقال من القيم المُنفصلة إلى القيم المتصلة المناسبة.

عرّف مستوى الثقة (confidence level).

هو نسبة توضّح مدى التأكّد من أن فترة التقدير (فترة من الأعداد الحقيقية) تحتوي على القيمة الحقيقية لمعلّمة معينة للمجتمع.

بيّن شروط استعمال التوزيع الطبيعي المعياري لتمثيل مستوى الثقة.

يُستعمل إذا كان الانحراف المعياري للمجتمع معلوماً وكان للمجتمع توزيع طبيعي، أو إذا كان حجم العينة كبيراً (n ≥ 30).

عدّد القيم الحرجة (z) المقابلة لمستويات الثقة 90%، 95%، و99%.

مستوى الثقة 90% يقابله z=1.64، مستوى الثقة 95% يقابله z=1.96، مستوى الثقة 99% يقابله z=2.57.

علّل: متى يُستعمل الانحراف المعياري للعينة (s) بدلاً من الانحراف المعياري للمجتمع (σ)؟

يُستعمل إذا كان الانحراف المعياري للمجتمع غير معلوم، بشرط أن يكون حجم العينة n ≥ 30.

عرّف اختبار الفرضية (Hypothesis testing).

أسلوب إحصائي يُستعمَل لتقييم مدى صحَّة ادعاء مُعيَّن عن معلَمة في المجتمع، مثل الوسط الحسابي.

قارن بين الفرضية الصفرية والفرضية البديلة من حيث الرموز الرياضية.

الفرضية الصفرية (H0) تحتوي على رموز المساواة (≥، =، ≤)، بينما الفرضية البديلة (H1) تحتوي على رموز عدم المساواة (<، ≠، >).

بيّن الحالات الأربع الممكنة عند اختبار الفرضية الإحصائية.

1. رفض H0 وهي غير صحيحة (قرار صحيح). 2. عدم رفض H0 وهي صحيحة (قرار صحيح). 3. رفض H0 وهي صحيحة (خطأ من النوع I). 4. عدم رفض H0 وهي غير صحيحة (خطأ من النوع II).

علّل: متى تُرفض الفرضية الصفرية؟

تُرفض الفرضية الصفرية إذا كان الفرق بين الوسط الحسابي للعيّنة والوسط الحسابي المُفترض للمجتمع كبيرًا بما يكفي ليكون ذا دلالة إحصائية، أو إذا وقعت قيمة الإحصائي z ضمن المنطقة الحرجة.