تجاوز إلى المحتوى الرئيسي

مراجعة مكثّفة

ملخص الرياضيات توجيهي: قوانين وأفكار

القوانين والأفكار الأساسية لكل درس في مادة الرياضيات، مبنية من المنهج المقرّر. هذه نظرة سريعة — افتح الملخص كاملاً مع البطاقات والأسئلة داخل TawjihiAI.

افتح الملخص كاملاًكل المواد

الاقترانات والمقادير الجبرية

نظريتا الباقي والعوامل

A comprehensive guide to dividing polynomials, finding roots, and solving polynomial equations using the Remainder, Factor, and Rational Zero Theorems.

Solving Polynomial Equations

  • Step 1: Identify all possible rational zeros using ± (p)/(q).
  • Step 2: Test values using synthetic or grid division until a root is found.
  • Step 3: Factor the polynomial completely using the found root.
  • Step 4: Solve for all roots (real or complex).

الكسور الجزئية

Decomposing complex rational expressions into a sum of simpler fractions based on the nature of their denominator's factors.

4. Improper Fractions (Degree P ≥ Degree Q)

  • Step 1: Perform long division of P(x) by Q(x).
  • Step 2: Write as: Quotient + RemainderQ(x).
  • Step 3: Decompose the remaining fraction RemainderQ(x).

المتطابقات والمعادلات المثلثية

المتطابقات المثلثية 1

A comprehensive guide to mastering trigonometric identities, simplification techniques, and sum/difference formulas for G12 Mathematics.

Sum and Difference Formulas

  • (a ± b) = a b ± a b
  • (a ± b) = a b a b
  • (a ± b) = ( a ± b)/(1 a b)

المتطابقات المثلثية 2

A comprehensive guide to mastering double-angle, half-angle, power-reduction, and product-to-sum trigonometric identities for advanced mathematical applications.

Half-Angle Identities

  • ()/(2) = ± √((1 - )/(2))
  • ()/(2) = ± √((1 + )/(2))
  • ()/(2) = ± √((1 - )/(1 + ))

حل المعادلات المثلثية

Mastering the process of isolating trigonometric functions, applying algebraic techniques, and verifying solutions to solve complex trigonometric equations.

Core Concepts & Basic Equations

  • Basic Equation: T() = c where T is a trig function and c is a constant.
  • Step 1: Solve within one period (e.g., [0, 2)).
  • Step 2: Find general solutions by adding multiples of the period (+ 2k for , ; + k for ).

التفاضل وتطبيقاته

مشتقة اقترانات خاصة

A comprehensive guide to differentiating natural exponential, logarithmic, and trigonometric functions, with applications in geometry and kinematics.

Fundamental Derivatives

  • Natural Exponential: (d)/(dx)(ex) = ex
  • Natural Logarithm: (d)/(dx)( x) = (1)/(x) (x > 0)
  • Sine Function: (d)/(dx)( x) = x
  • Cosine Function: (d)/(dx)( x) = - x

مشتقتا الضرب والقسمة والمشتقات العليا

دليل شامل لقواعد الاشتقاق المتقدمة، بما في ذلك حاصل الضرب، القسمة، الاقترانات المثلثية، والمشتقات العليا مع تطبيقاتها الحياتية.

قواعد الاشتقاق الأساسية

  • مشتقة الضرب: (fg)'(x) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)
  • مشتقة القسمة: ((f)/(g))'(x) = (g(x)f'(x) - f(x)g'(x))/([g(x)]2)
  • مشتقة المقلوب: ((1)/(f))'(x) = (-f'(x))/([f(x)]2)

قاعدة السلسلة

دليلك الشامل لاشتقاق الاقترانات المركبة، المعادلات الوسيطية، وتطبيقاتها في التفاضل.

قاعدة السلسلة الأساسية

  • لإيجاد مشتقة الاقتران المركب y = f(u) حيث u = g(x):
  • (dy)/(dx) = (dy)/(du) × (du)/(dx)
  • مشتقة (f g)(x) = f'(g(x)) × g'(x)
  • القاعدة: مشتقة الخارجي عند الداخلي × مشتقة الداخلي.

الاشتقاق الضمني

دليل شامل للاشتقاق الضمني، يتناول كيفية التعامل مع المعادلات التي يصعب فصل المتغيرات فيها، وإيجاد المشتقات الأولى والثانية ومعادلات المماس.

مفهوم الاشتقاق الضمني

  • الاقتران الصريح: يكتب على صورة y = f(x)
  • العلاقة الضمنية: لا يمكن فصل y بدلالة x بسهولة (مثل x3 + y3 - 9xy = 0)
  • الخطوة 1: اشتقاق الطرفين بالنسبة لـ x مع مراعاة قاعدة السلسلة عند اشتقاق حدود y
  • الخطوة 2: ترتيب الحدود التي تحوي (dy)/(dx) في طرف واحد

المعدلات المرتبطة

دليل استراتيجي لإتقان حل مسائل المعدلات المرتبطة عبر تحويل العلاقات الهندسية والفيزيائية إلى معادلات زمنية باستخدام الاشتقاق الضمني وقاعدة السلسلة.

استراتيجية الحل الذهبية (5 خطوات)

  • أفهم المسألة ← تحديد المتغيرات والمطلوب.
  • أرسم مخططاً ← وضع المعلومات الثابتة والمتغيرة.
  • أكتب معادلة ← ربط المتغيرات (هندسية أو فيزيائية).
  • أشتق بالنسبة للزمن (t) ← استخدام قاعدة السلسلة والاشتقاق الضمني.

الأعداد المركبة

الأعداد المركبة

دليل شامل لفهم الأعداد المركبة، من الوحدة التخيلية i وصولاً إلى التمثيل المثلثي والعمليات الحسابية في المستوى المركب.

المقياس والسعة

  • المقياس (Modulus): |z| = r = √(a2 + b2)
  • السعة (Argument): = (z) ، وتكون في الفترة (-, ]
  • الربع الأول: = ^-1((b)/(a))
  • الربع الثاني: = - ^-1((b)/(a))

العمليات على الأعداد المركبة

A comprehensive guide to arithmetic operations, roots, and polynomial solutions involving complex numbers.

Arithmetic Operations (Standard Form)

  • Multiplication: Use distributive property + replace i2 with -1.
  • Conjugate: For z = a + bi, the conjugate z = a - bi.

المحل الهندسي في المستوى المركب

A comprehensive guide to identifying, sketching, and converting complex locus equations and inequalities into Cartesian forms.

Inequalities & Systems

  • Boundary Curve: Replace inequality symbol with '=' to sketch the boundary.
  • Solid line: Includes ≤ or ≥.
  • Dashed line: Includes < or >.
  • Testing: Use a test point (e.g., (0,0)) to determine which side of the boundary satisfies the inequality.

التكامل

تكامل اقترانات خاصة

A comprehensive guide to integrating exponential, trigonometric, and logarithmic functions, including applications in kinematics and rational function decomposition.

Exponential & Logarithmic Integrals

  • ex dx = ex + C
  • e^ax+b dx = (1)/(a) e^ax+b + C
  • kx dx = (kx)/( k) + C
  • (1)/(x) dx = |x| + C

التكامل بالتعويض

طريقة منهجية لتحويل التكاملات المعقدة إلى صور قياسية بسيطة عبر تغيير المتغير، مع التركيز على اختيار u بحيث تكون مشتقته du موجودة في التكامل.

خطوات الحل الذهبية

  • 1. اختيار u: المقدار الذي مشتقته موجودة (غالباً ما يكون ما داخل القوس أو الجذر).
  • 2. الاشتقاق: إيجاد (du)/(dx) ثم كتابة dx بدلالة du.
  • 3. التعويض: استبدال كل x و dx بـ u و du.
  • 4. التكامل والعودة: إجراء التكامل ثم استبدال u بقيمتها الأصلية بدلالة x.

التكامل بالكسور الجزئية

A systematic method to integrate rational functions by decomposing complex fractions into simpler, integrable partial fractions based on the nature of the denominator's factors.

Integration Strategy

  • Standard form: (1)/(ax+b) dx = (1)/(a) |ax+b| + C
  • Substitution Integration: Use u-substitution to transform non-rational functions (e.g., ex, √(x)) into rational functions, then apply partial fractions.
  • Definite Integrals: Integrate first → Apply limits of integration [a, b].

التكامل بالأجزاء

A powerful technique for integrating products of functions by transforming the integral into a simpler form using the formula ∫ u dv = uv - ∫ v du.

Choosing u and dv (LIATE Strategy)

  • If x is present, it is almost always chosen as u because its derivative is 1/x.

المساحات والحجوم

A comprehensive guide to calculating areas between curves, volumes of solids of revolution, and kinematic applications using definite integrals.

Area Between Two Curves

  • Intersection points: Solve f(x) = g(x) to find boundaries if not given.

المعادلات التفاضلية

A comprehensive guide to identifying, solving, and applying differential equations through integration and variable separation.

Separation of Variables

  • Applicable when: (dy)/(dx) = f(x)g(y).
  • Step 1: Rearrange to (1)/(g(y)) dy = f(x) dx.
  • Step 2: Integrate both sides: (1)/(g(y)) dy = f(x) dx.

المتجهات

المتجهات في الفضاء

دليل شامل لتمثيل النقاط والمتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد وإجراء العمليات الجبرية والهندسية عليها بدقة.

القوانين الأساسية في الفضاء

  • المسافة بين A(x_1, y_1, z_1) و B(x_2, y_2, z_2): AB = √((x_2-x_1)2 + (y_2-y_1)2 + (z_2-z_1)2)
  • نقطة المنتصف M: M = ( (x_1+x_2)/(2), (y_1+y_2)/(2), (z_1+z_2)/(2) )
  • المتجه v = AB = x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1
  • مقدار المتجه: |v| = √(v_12 + v_22 + v_32)

المستقيمات في الفضاء

A comprehensive guide to vector equations of lines in 3D space, covering parallelism, collinearity, and the intersection of lines.

Vector Equation of a Line

  • Formula: r = r_0 + tv
  • r_0 : Position vector of a known point on the line.
  • v : Direction vector of the line.

الضرب القياسي

A comprehensive guide to scalar products, angle calculations, and geometric applications in 3D space, including distance and area formulas.

Scalar Product Fundamentals

  • Definition: v × w = v_1w_1 + v_2w_2 + v_3w_3
  • Commutative property: v × w = w × v
  • Distributive property: u × (v + w) = u × v + u × w
  • Scalar multiplication: c(u × v) = (cu) × v

الإحصاء والاحتمالات

التوزيع الهندسي وتوزيع ذي الحدين

خريطة طريق شاملة للتمييز بين التجارب الاحتمالية (الهندسية وذات الحدين) وحساب احتمالاتها وتوقعاتها الرياضية.

3. توزيع ذي الحدين

  • الهدف: عدد النجاحات في عدد محدد من المحاولات (n).
  • القانون: P(X = r) = nr pr (1-p)^n-r
  • التوقع: E(X) = np
  • التباين: Var(X) = np(1-p)

التوزيع الطبيعي

دليل شامل لفهم خصائص المنحنى الطبيعي، استخدام القاعدة التجريبية، والتعامل مع التوزيع المعياري (Z) لإيجاد الاحتمالات والقيم المجهولة.

القاعدة التجريبية

  • 68% من البيانات تقع ضمن انحراف معياري واحد: P( - < X < + ) = 0.68
  • 95% من البيانات تقع ضمن انحرافين معياريين: P( - 2 < X < + 2) = 0.95
  • 99.7% من البيانات تقع ضمن ثلاثة انحرافات معيارية: P( - 3 < X < + 3) = 0.997

أسئلة شائعة

ما هو ملخص الرياضيات للتوجيهي؟

صفحات مراجعة مختصرة لمادة الرياضيات تجمع القوانين والأفكار الأساسية ونصائح الامتحان لكل درس.

هل هي مبنية على المنهج؟

نعم — مبنية من المنهج المقرّر وتغطي وحدات المادة الرسمية. يمكنك معاينة الملخصات داخل TawjihiAI.

أكمل استعدادك في الرياضيات

صفحة الرياضياتأسئلة مع الحلبطاقات تعليميةالأوراق الوزارية السابقةمعجم المصطلحاتالامتحانات المتوقعة

احفظ مواعيدك في التطبيق

بعد التسجيل نحمّل مواعيد موادك تلقائياً — وتتابع العدّ التنازلي من الصفحة الرئيسية.

إنشاء حساب