بطاقات الرياضيات توجيهي: مراجعة سريعة

ما نظرية الباقي؟

باقي قسمة P(x) على x-c يساوي P(c).

ما نظرية العوامل؟

x-c عامل من P(x) إذا وفقط إذا كان P(c)=0.

ما معنى صفر كثير حدود؟

قيمة x التي تجعل P(x)=0؛ بيانياً هي تقاطع المنحنى مع محور x.

ما الأصفار النسبية المحتملة؟

± p/q حيث p يقسم الحد الثابت وq يقسم المعامل الرئيس.

ما معنى تجزئة المقادير النسبية؟

كتابة مقدار جبري نسبي في صورة مجموع كسور جزئية أبسط، وهي عكس توحيد المقامات.

ما الشرط قبل التجزئة المباشرة؟

أن تكون درجة البسط أقل من درجة المقام. إذا لم يتحقق ذلك نبدأ بالقسمة الطويلة.

عامل خطي مختلف ax+b ماذا يقابله؟

يقابله كسر جزئي من الصورة (A)/(ax+b) حيث A ثابت.

مقامه (x-2)(x+1): ما صورة التجزئة؟

(A)/(x-2)+(B)/(x+1).

ما المتطابقة المثلثية؟

معادلة مثلثية صحيحة لكل القيم التي يكون عندها الطرفان معرفين.

متطابقة النسبة للظل؟

=()/().

في الربع الثاني: إشارات الجيب وجيب التمام؟

موجب و سالب؛ لذلك سالب و سالب.

في الربع الثالث: إشارات الجيب وجيب التمام؟

سالب و سالب؛ لذلك موجب.

ما صيغة ()/(2)؟

()/(2)=±√((1-)/(2)).

ما صيغة ()/(2)؟

()/(2)=±√((1+)/(2)).

من يحدد إشارة نصف الزاوية؟

الربع الذي تقع فيه ()/(2)، لا ربع وحده.

إذا كان <x<(3)/(2) فأين يقع (x)/(2)؟

بين ()/(2) و(3)/(4)؛ أي في الربع الثاني.

ما الفرق بين المعادلة المثلثية والمتطابقة؟

المتطابقة صحيحة لكل قيمة معرفة، أما المعادلة المثلثية فتصح لقيم محددة فقط.

ما صورة المعادلة المثلثية الأساسية؟

تكون في صورة T()=c حيث T اقتران مثلثي وc ثابت.

ما دورة الجيب وجيب التمام في الحل العام؟

تتكرر حلول x=c و x=c بإضافة 2k لكل حل في دورة واحدة.

ما دورة الظل في الحل العام؟

تتكرر حلول x=c بإضافة k، لا يلزم انتظار 2.

ما مشتقة ex؟

(ex)=ex؛ لا تطبق قاعدة القوة على ex.

ما مشتقة aex؟

(aex)=aex عندما يكون a ثابتًا.

كيف أميز xn عن ex؟

xn متغير في الأساس فنستخدم قاعدة القوة، أما ex فالأساس ثابت والأس متغير.

ما مشتقة x ومجالها؟

( x)=1/x على المجال x>0.

ما قاعدة مشتقة الضرب؟

(fg)=f g+g f؛ نشتق عاملًا واحدًا في كل حد.

ما الخطأ الشائع في مشتقة الضرب؟

كتابة (fg)=f g خطأ؛ قاعدة الضرب تعطي مجموع حدين.

كيف أتذكر ترتيب قاعدة القسمة؟

المقام في مشتقة البسط ناقص البسط في مشتقة المقام، ثم على مربع المقام.

ما أكبر خطأ في مشتقة المقلوب؟

نسيان الإشارة السالبة قبل مشتقة المقام.

ما قاعدة السلسلة؟

إذا كان y=f(g(x)) فإن y=f(g(x))g(x).

كيف أطبق قاعدة السلسلة؟

اشتق الخارجي مع إبقاء الداخلي، ثم اضرب في مشتقة الداخلي.

ما قاعدة سلسلة القوة؟

(d)/(dx)[g(x)]n=n[g(x)]^n-1g(x).

ما مشتقة (g(x))؟

(g(x))/(g(x)) بشرط g(x)>0.

ما الاشتقاق الضمني؟

اشتقاق طرفي علاقة بين x وy مع اعتبار y اقترانًا في x.

ما مشتقة yn ضمنيًا؟

n y^n-1y.

ما مشتقة (x+y)؟

(x+y)(1+y).

خطوات عزل y؟

اشتق، اجمع حدود y، أخرجه عاملًا مشتركًا، ثم اقسم.

ما المعدلات المرتبطة؟

كميات تتغير مع الزمن وترتبط بمعادلة واحدة، فنشتق المعادلة بالنسبة إلى t.

ما خطوات الحل الخمس؟

افهم، ارسم، اكتب علاقة، اشتق بالنسبة إلى الزمن، ثم عوض القيم اللحظية.

ما الخطأ الأخطر؟

التعويض بالقيم اللحظية قبل الاشتقاق؛ لأنه يحول المتغير إلى ثابت زائف.

كيف أحدد إشارة المعدل؟

يزداد/يبتعد/يمتلئ موجب، ويتناقص/يقترب/يتسرب سالب.

ما تعريف الوحدة التخيلية i؟

i2=-1، وi هو الجذر الرئيس للعدد -1.

كيف أبسط √(-k) عندما k>0؟

√(-k)=i√(k) للجذر الرئيس.

لماذا √(-9)√(-4) لا يساوي √(36)؟

لأن خاصية ضرب الجذور لا تطبق مباشرة على الجذور السالبة؛ نكتبها (3i)(2i)=-6.

ما دورة قوى i؟

i,-1,-i,1 ثم تتكرر كل 4 قوى.

كيف أجمع عددين مركبين؟

أجمع الجزأين الحقيقيين معاً والجزأين التخيليين معاً: (a+ib)+(x+iy)=(a+x)+i(b+y).

كيف أطرح عددين مركبين؟

أطرح الحقيقي من الحقيقي والتخيلي من التخيلي: (a+ib)-(x+iy)=(a-x)+i(b-y).

ما النظير الجمعي لـ a+bi؟

-(a+bi)=-a-bi.

ما أهم خطوة بعد ضرب عددين مركبين؟

استبدل i2 بـ -1 ثم اجمع الحدود المتشابهة.

المحل الهندسي في المستوى المركب

مجموعة النقاط التي تمثل أعداداً مركبة وتحقق شرطاً معيناً مثل مسافة ثابتة، مساواة مسافتين، سعة ثابتة، أو متباينة.

|z-(a+bi)|=r

تمثل دائرة مركزها (a,b) ونصف قطرها r، وصيغتها الديكارتية (x-a)2+(y-b)2=r2.

قراءة المركز من |z-2+8i|=3

نكتبها |z-(2-8i)|=3، لذلك المركز (2,-8) وليس (2,8).

|z-z_1|=|z-z_2|

تمثل المنصف العمودي للقطعة الواصلة بين النقطتين الممثلتين للعددين z_1,z_2.

لماذا نقسم على معامل الداخل في التكامل؟

لأن الاشتقاق يضرب في معامل الداخل؛ والتكامل يعكس هذه العملية.

متى أضيف ثابت التكامل C؟

أضيفه في التكامل غير المحدود فقط؛ أما في المحدود فيختفي عند طرح قيمتي الاقتران الأصلي.

كيف أتعامل مع (6x)/(x2+9)؟

ألاحظ أن 6x=3(2x)، ومشتقة المقام 2x؛ إذن الناتج 3(x2+9)+C.

ما تكامل x الصحيح؟

xdx=-| x|+C، والإشارة السالبة تأتي من مشتقة x.

ما فكرة التكامل بالتعويض؟

نغيّر متغير التكامل من x إلى u حتى يصبح التكامل أبسط، ثم نعود إلى x في التكامل غير المحدود.

متى يكون التعويض مناسباً؟

عندما ترى اقتراناً مركباً مثل (2x3-3)4 ومعه عامل قريب من مشتقته مثل 6x2 dx.

ما الشرط قبل أن تبدأ التكامل بعد التعويض؟

يجب أن يصبح التكامل كله بدلالة u وdu؛ لا تترك خليطاً من x وu.

متى تحتاج إلى كتابة x بدلالة u؟

إذا بقي عامل مثل x أو x2 بعد التعويض، فاكتب هذا العامل من علاقة u قبل التكامل.

ما معنى التكامل بالكسور الجزئية؟

هو تحويل الاقتران النسبي إلى مجموع كسور أبسط ثم تكامل كل كسر غالباً إلى لوغاريتم طبيعي.

ما الشرط قبل بدء الكسور الجزئية؟

يجب أن تكون درجة البسط أقل من درجة المقام، ولا توجد عوامل مشتركة. إذا لم يتحقق ذلك نختصر أو نقسم أولاً.

ما صورة عامل خطي مختلف مثل (x-a)؟

نضع له كسراً جزئياً ببسط ثابت: (A)/(x-a).

ما صورة عامل خطي مكرر مثل (x-a)2؟

نكتب السلسلة (A)/(x-a)+(B)/((x-a)2)، ولا نكتفي بالحد الأعلى فقط.

متى أفكر في الأجزاء؟

عند تكامل حاصل ضرب اقترانين من عائلتين مختلفتين مثل جبري مع مثلثي، أو جبري مع أسي، أو لوغاريتمي.

ما معنى اختيار u؟

u هو الجزء الذي نشتقه، لذلك نفضله لو كان يبسط أو يختفي بالاشتقاق.

ما معنى اختيار dv؟

dv هو الجزء الذي نكامله، ويجب أن يحتوي dx وأن يكون تكامله ممكناً بلا تعقيد كبير.

ما ترتيب اختيار u العملي؟

غالباً: لوغاريتمي، ثم جبري، ثم مثلثي أو أسي بحسب الحالة. الهدف أن يصبح التكامل الباقي أبسط.

لماذا أبحث عن نقاط التقاطع أولاً؟

لأن نقاط التقاطع قد تكون حدود التكامل أو نقاط تجزئة يتغير عندها العلوي والسفلي.

كيف أحدد الاقتران العلوي؟

أختار قيمة اختبار داخل الفترة وأقارن قيمتي الاقترانين، أو أقرأ ذلك من رسم موثوق.

ما الفرق بين الإزاحة والمسافة الكلية؟

الإزاحة هي التكامل الجبري للسرعة، أما المسافة الكلية فهي تكامل القيمة المطلقة للسرعة.

كيف أقرأ المساحات تحت محور الزمن؟

في الإزاحة تدخل سالبة، وفي المسافة الكلية تدخل موجبة لأنها طول مسار.

ما المعادلة التفاضلية؟

هي معادلة تحتوي مشتقة واحدة أو أكثر لاقتران، وقد تحتوي الاقتران نفسه.

كيف أتحقق أن اقتراناً حل؟

أشتق الاقتران ثم أعوضه مع مشتقاته في المعادلة؛ يجب أن تتحقق لكل قيم المجال.

ما الحل العام؟

حل يحتوي ثابتاً اختيارياً C ويمثل عائلة حلول للمعادلة التفاضلية.

ما الحل الخاص؟

حل نحصل عليه من الحل العام بعد استعمال شرط أولي لتحديد قيمة C.

نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد

نظام يحدد موقع النقطة بالثلاثية المرتبة (x,y,z) بعد إضافة محور z إلى محوري x,y.

الثمن

أحد الأقسام الثمانية التي تقسمها المستويات الإحداثية xy,xz,yz في الفضاء.

المسافة بين A(x_1,y_1,z_1) و B(x_2,y_2,z_2)

AB=√((x_2-x_1)2+(y_2-y_1)2+(z_2-z_1)2). الإشارات لا تؤثر بعد التربيع، لكن الترتيب مهم عند المتجهات.

نقطة المنتصف في الفضاء

M((x_1+x_2)/(2),(y_1+y_2)/(2),(z_1+z_2)/(2)).

المتجهان المتوازيان في الفضاء

يتوازيان إذا وجد عدد حقيقي غير صفري k بحيث v=k u؛ أي إن مركباتهما متناسبة بالثابت نفسه.

اختبار توازي متجهين

احسب نسب المركبات المتناظرة أو ابحث عن مضاعف واحد يربط المركبات كلها؛ اختلاف نسبة واحدة يكفي لنفي التوازي.

استقامة ثلاث نقاط

تكفي موازاة متجهين يشتركان في نقطة، مثل AB و AC؛ عندها تقع A,B,C على استقامة واحدة.

المعادلة المتجهة للمستقيم

r= r_0+t d حيث r_0 متجه موقع نقطة على المستقيم و d متجه اتجاه غير صفري.

الضرب القياسي

للمتجهين u= u_1,u_2,u_3 و v= v_1,v_2,v_3: u× v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3، والناتج عدد حقيقي.

الناتج القياسي ليس متجهاً

ناتج الضرب القياسي عدد، لذلك لا يكتب بصورة إحداثية ولا له اتجاه.

إشارة الضرب القياسي

موجب يعني زاوية حادة، سالب يعني زاوية منفرجة، وصفر يعني زاوية قائمة.

تعامد متجهين

يتعامد متجهان غير صفريين إذا وفقط إذا كان u× v=0.

تجربة بيرنولي

تجربة عشوائية تُصنَّف نتيجتها في كل محاولة إلى نجاح أو فشل فقط، مع احتمال نجاح p واحتمال فشل q=1-p.

شرط الاستقلال

في الهندسي وذي الحدين يجب ألا تؤثر نتيجة محاولة في احتمال نجاح المحاولات الأخرى؛ السحب بدون إرجاع غالباً يكسر هذا الشرط.

متى يكون التوزيع هندسياً؟

عندما تتكرر محاولات بيرنولي المستقلة بثبات p وتتوقف التجربة عند أول نجاح.

قيم المتغير الهندسي

إذا X Geo(p) فإن X يمثل رقم المحاولة التي يظهر فيها أول نجاح، لذلك X=1,2,3, ولا يأخذ القيمة 0.

المنحنى الطبيعي

منحنى متصل على شكل جرس، متماثل حول الوسط الحسابي، والمساحة الكلية تحته تساوي 1.

خصائص المنحنى الطبيعي

في التوزيع الطبيعي يتطابق الوسط والوسيط والمنوال، ويحدد موقع المنحنى بينما يحدد مقدار الانتشار.

التوزيع الطبيعي المعياري

Z N(0,1)، وجدول Z يعطي غالباً P(Z<z) للمساحة يسار القيمة.

قانون التقييس

لتحويل X إلى Z: z=(x-)/().