أسئلة الرياضيات توجيهي: مع الحل

س: أستعمل طريقة الجدول أو القسمة المنظمة لإيجاد ناتج وباقي (9x3-x+3)(3x-2).

ج: نكتب المقسوم بالصورة القياسية 9x3+0x2-x+3. ناتج القسمة من الدرجة الثانية. بالقسمة ينتج 3x2+2x+1، والباقي 5. إذن 9x3-x+3=(3x-2)(3x2+2x+1)+5.

س: أجد باقي قسمة P(x)=x3+7x2-6x+2 على x-3.

ج: بنظرية الباقي، الباقي هو P(3). نحسب: P(3)=27+63-18+2=74. إذن الباقي 74.

س: أجد باقي قسمة P(x)=2x3-5x2-4x+9 على x+2.

ج: نكتب x+2=x-(-2)، إذن الباقي P(-2). P(-2)=2(-8)-5(4)-4(-2)+9=-16-20+8+9=-19.

س: إذا كان (5x)/((x+3)2)=(p)/(x+3)-(3p)/((x+3)2)، فأجب:أ. وحد الطرف الأيمن.ب. أوجد قيمة p.ج. اشرح لماذا يصلح هذا التحقق لكل x-3.

ج: أ. الطرف الأيمن يساوي (p(x+3)-3p)/((x+3)2)=(px)/((x+3)2).ب. بمقارنة البسطين px=5x، إذن p=5.ج. لأن المقامين متساويان وغير صفريين عندما x-3، فمساواة البسطين تكفي على مجال التعريف.

س: إذا كان (ax+b)/(x2-1)=(A)/(x-1)+(B)/(x+1)، فأجب:أ. وحد الطرف الأيمن.ب. أوجد نظام المعادلات للثابتين.ج. أوجد A,B بدلالة a,b.

ج: أ. الطرف الأيمن يساوي (A(x+1)+B(x-1))/(x2-1).ب. البسط يصبح (A+B)x+(A-B)، لذلك A+B=a وA-B=b.ج. بجمع المعادلتين 2A=a+b، إذن A=(a+b)/(2). وبطرح الثانية من الأولى 2B=a-b، إذن B=(a-b)/(2).

س: أبسط x x.

ج: x x= x×( x)/( x)= x.

س: أبسط ( x- x)/( x)+( x- x)/( x).

ج: الحد الأول x-1، والثاني x-1. إذن الناتج x+ x-2.

س: أثبت ||=||-||.

ج: بما أن =()/()، إذن ||=|()/()|=||-|| حيث تكون القيم معرفة.

س: أحل x=-2 تقريبياً لجميع قيم x بالراديان.

ج: ^-1(-2)≈-1.11. دورة الظل ، لذلك الحل العام هو x≈-1.11+k حيث k Z.

س: أجد مشتقة f(x)=3ex.

ج: بما أن (ex)=ex وقاعدة المضاعف الثابت تعطي (3ex)=3(ex)، فإن f(x)=3ex.

س: أجد مشتقة f(x)=x2+ex.

ج: نشتق كل حد: (x2)=2x و(ex)=ex. إذن f(x)=2x+ex.

س: أجد مشتقة f(x)=3 x+4.

ج: مشتقة x هي x، ومشتقة الثابت صفر؛ إذن f(x)=3 x.

س: أجد مشتقة f(x)=(3x-2x2)(5+4x).

ج: باستعمال قاعدة الضرب: f(x)=(3x-2x2)(4)+(5+4x)(3-4x). بالتوزيع: 12x-8x2+15-8x-16x2=-24x2+4x+15.

س: أجد مشتقة f(x)=xex.

ج: نثبت x ونشتق ex، ثم نثبت ex ونشتق x: f(x)=x ex+ex=x ex+ex. ويمكن كتابتها ex(x+1).

س: أجد مشتقة f(x)=(1-x2)/(1+x2).

ج: بقاعدة القسمة: f(x)=((1+x2)(-2x)-(1-x2)(2x))/((1+x2)2). البسط -2x-2x3-2x+2x3=-4x، إذن f(x)=(-4x)/((1+x2)2).

س: أجد مشتقة f(x)=e^x+x2.

ج: نأخذ u=x+x2، فيكون u=1+2x. إذن f(x)=e^x+x2(1+2x).

س: أجد مشتقة f(x)=( x).

ج: نأخذ u= x. إذن f(x)=(u)/(u)=( x)/( x)= x.

س: أجد مشتقة f(x)=e^4x+2.

ج: f(x)=4e^4x+2.

س: أجد (dy)/(dx) للعلاقة 2xy-y3=1.

ج: بالاشتقاق: 2(xy+y)-3y2y=0. نجمع حدود y: (2x-3y2)y=-2y. إذن y=-(2y)/(2x-3y2).

س: أجد (dy)/(dx) للعلاقة (x+y)=y2 x.

ج: نشتق: (x+y)(1+y)=2y y x-y2 x. بجمع حدود y: y((x+y)-2y x)=-y2 x-(x+y). إذن y=(-y2 x-(x+y))/((x+y)-2y x).

س: إذا كان 2x3-3y2=8، فأجد (d2y)/(dx2).

ج: من الاشتقاق الأول: 6x2-6y y=0، إذن y=(x2)/(y). نشتق (x2)/(y): y=(2xy-x2y)/(y2). بالتعويض عن y: y=(2xy-x2(x2/y))/(y2)=(2xy2-x4)/(y3).

س: أجد قيمة الجذر الرئيس √(-16) بدلالة i.

ج: √(-16)=i√(16)=4i.

س: طالب كتب √(-9)√(-4)=√(36)=6. أبيّن الخطأ وأكتب الناتج الصحيح.

ج: الخطأ أنه طبق خاصية ضرب الجذور على أعداد سالبة. الصحيح: √(-9)=3i و√(-4)=2i، إذن الناتج 6i2=-6.

س: أكتب 2+√(-4) بالصورة القياسية.

ج: √(-4)=2i، إذن العدد هو 2+2i. الجزء الحقيقي 2 والجزء التخيلي 2.

س: أجد ناتج (5+7i)+(-9-4i) بالصورة القياسية.

ج: نجمع الحقيقي مع الحقيقي: 5-9=-4، والتخيلي مع التخيلي: 7i-4i=3i. إذن الناتج -4+3i.

س: أجد ناتج (8-5i)-(2-11i) بالصورة القياسية.

ج: نوزع إشارة الطرح: 8-5i-2+11i=(8-2)+(-5+11)i=6+6i.

س: أجد ناتج (7+2i)+(3-11i) بالصورة القياسية.

ج: الناتج (7+3)+(2-11)i=10-9i.

س: أجد المحل الهندسي للمعادلة |z|=10 وصيغتها الديكارتية.

ج: المعادلة تمثل دائرة مركزها الأصل (0,0) ونصف قطرها 10. إذا z=x+iy فإن |z|=√(x2+y2)، لذلك الصيغة الديكارتية x2+y2=100.

س: أجد المحل الهندسي للمعادلة |z-9|=4 وصيغتها الديكارتية.

ج: نكتبها |z-(9+0i)|=4، فهي دائرة مركزها (9,0) ونصف قطرها 4. الصيغة: (x-9)2+y2=16.

س: أجد المحل الهندسي للمعادلة |z+2i|=8 وصيغتها الديكارتية.

ج: |z+2i|=|z-(0-2i)|، لذلك المركز (0,-2) ونصف القطر 8. الصيغة الديكارتية: x2+(y+2)2=64.

س: يمثل P(t) عدد الخلايا البكتيرية بعد t يومًا، وكان P(0)=200000 وP(t)=200e^0.1t+150e^-0.03t.أ. أوجد قاعدة P(t).ب. أوجد عدد الخلايا بعد 12 يومًا بصيغة دقيقة.ج. قرّب الناتج إلى أقرب خلية.

ج: أ. P(t)=2000e^0.1t-5000e^-0.03t+C. وباستخدام P(0)=200000: 2000-5000+C=200000، إذن C=203000. لذلك P(t)=2000e^0.1t-5000e^-0.03t+203000.ب. P(12)=2000e^1.2-5000e^-0.36+203000.ج. تقريبًا 206152 خلية.

س: أجد التكامل: 6x2 (2x3 - 3)4 dx.

ج: 1. نفرض u=2x3-3، ومنه du=6x2dx. 2. يصبح التكامل u4du. 3. بالتكامل نحصل على (u5)/(5)+C. 4. بالعودة: ((2x3-3)5)/(5)+C.

س: سؤال امتحاني: للتكامل x5(1+x2)3dx أجب عما يأتي.

ج: هذا مطابق لفكرة مثال ٢ في الكتاب: لا يكفي اختيار u؛ يجب تحويل كل عامل باقٍ.

س: يمثل p(x) سعر قطعة حاسوب عندما يكون x عدد القطع المبيعة بالمئات، وكان p'(x)=-135x√(9+x2). إذا كان سعر القطعة 30 ديناراً عند بيع 400 قطعة، فأجد p(x).

ج: عند 400 قطعة يكون x=4. نكامل: نأخذ u=9+x2، فـ du=2xdx. إذن p(x)=-(135)/(2) u^-1/2du=-135√(u)+C=-135√(9+x2)+C. وباستعمال p(4)=30: 30=-135(5)+C، إذن C=705. لذلك p(x)=705-135√(9+x2).

س: أجد التكامل: (x - 5)/(x2 - x - 2) dx.

ج: 1. نحلل المقام: x2-x-2=(x+1)(x-2). 2. نكتب (x-5)/((x+1)(x-2))=(A)/(x+1)+(B)/(x-2). 3. بعد الضرب: x-5=A(x-2)+B(x+1)؛ بالتعويض x=-1 نحصل على A=2، وبالتعويض x=2 نحصل على B=-1. 4. إذن التكامل ((2)/(x+1)-(1)/(x-2))dx=2|x+1|-|x-2|+C.

س: أجد التكامل: (3x2 + 2)/(x3 - 2x2 + x) dx.

ج: 1. نحلل المقام: x3-2x2+x=x(x-1)2. 2. الصورة الجزئية: (A)/(x)+(B)/(x-1)+(C)/((x-1)2). 3. بعد الضرب: 3x2+2=A(x-1)2+Bx(x-1)+Cx. 4. بالتعويض: x=0 → A=2، وx=1 → C=5، ثم مثلاً x=-1 → B=1. 5. التكامل 2|x|+|x-1|-(5)/(x-1)+C.

س: أجد التكامل: (5x2 - 4x + 2)/((x - 1)(x2 + 2)) dx.

ج: 1. نكتب (5x2-4x+2)/((x-1)(x2+2))=(A)/(x-1)+(Bx+C)/(x2+2). 2. بعد الضرب: 5x2-4x+2=A(x2+2)+(Bx+C)(x-1). 3. بالتعويض x=1 نحصل على A=1، وبالتعويض x=0 نحصل على C=0، وبالتعويض x=2 نحصل على B=4. 4. إذن integrand يساوي (1)/(x-1)+(4x)/(x2+2). 5. التكامل |x-1|+2(x2+2)+C.

س: في مثال منحنى السرعة في الكتاب: إذا كانت المساحة الجبرية من 0 إلى 5 تساوي 1 m، والمسافة الكلية 9 m، وكان s(0)=2 m، فأجد الإزاحة والمسافة والموقع النهائي.

ج: الإزاحة هي التكامل الجبري للسرعة، إذن Δ s=1 m إلى اليمين. المسافة الكلية هي مجموع المساحات المطلقة، إذن d=9 m. الموقع النهائي s(5)=s(0)+Δ s=2+1=3 m.

س: أجد حجم المجسم الناتج من دوران المنطقة تحت f(x)=ex حول المحور x على الفترة [-1,2].

ج: قانون الأقراص: V=-12(ex)2dx=-12e^2xdx=()/(2)[e^2x]-12=()/(2)(e4-e^-2) وحدة مكعبة.

س: أجد مساحة المنطقة المحصورة بين g(x)=4x+12 وf(x)=4-x2 في الفترة [-1,2].

ج: على الفترة [-1,2] يكون g(x)-f(x)=x2+4x+8 موجباً، لذلك A=-12(x2+4x+8)dx=[(x3)/(3)+2x2+8x]-12=33 وحدة مربعة.

س: أحدد إذا كان y=e^-x حلاً للمعادلة التفاضلية y+y=0.

ج: نشتق: y=-e^-x. بالتعويض في الطرف الأيسر: y+y=-e^-x+e^-x=0. إذن تتحقق المعادلة لكل x، فالاقتران حل.

س: أحدد إذا كان y=2 x حلاً للمعادلة التفاضلية y+y=0.

ج: نشتق: y=-2 x. إذن y+y=-2 x+2 x، وهذا ليس صفراً لكل x. لذلك y=2 x ليس حلاً للمعادلة.

س: أجد الحل العام للمعادلة (dy)/(dx)=ex-6x2، ثم الحل الخاص المار بالنقطة (1,0).

ج: بالتكامل: y=(ex-6x2)dx=ex-2x3+C. نعوض (1,0): 0=e-2+C، إذن C=2-e. الحل الخاص y=ex-2x3+2-e.

س: أصف خطوات تعيين النقطة A(2,4,3) في نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد.

ج: نحدد أولاً الزوج (2,4) في المستوى xy، ثم نتحرك 3 وحدات إلى الأعلى بموازاة محور z لأن الإحداثي الثالث موجب.

س: أصف خطوات تعيين النقطة B(2,-3,-1) في نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد.

ج: نحدد الزوج (2,-3) في المستوى xy، ثم نتحرك وحدة واحدة إلى الأسفل بموازاة محور z لأن الإحداثي الثالث -1.

س: أجد المسافة بين A(-4,7,-2) و B(6,1,-4) وإحداثيات منتصف AB.

ج: Δ x=10,Δ y=-6,Δ z=-2، لذلك AB=√(102+(-6)2+(-2)2)=√(140)=2√(35). المنتصف M=((-4+6)/(2),(7+1)/(2),(-2-4)/(2))=(1,4,-3).

س: أحدد إن كان المتجهان -6,-4,10 و -3,-1,13 متوازيين.

ج: ليسا متوازيين؛ فالنسبة من المركبة الأولى 2، لكن 2(-1)=-2 -4، وكذلك المركبة الثالثة لا توافق.

س: أجد معادلة متجهة للمستقيم الذي يوازي a=-3 i+2 j- k ويمر بنقطة متجه الموقع لها b=-2 i+8 k.

ج: a=-3,2,-1 و b=-2,0,8. لذلك r=-2,0,8+t-3,2,-1.

س: أبين أن النقطة (19,2,-13) تقع على المستقيم r=-2,9,1+t-3,1,2.

ج: من 19=-2-3t نحصل على t=-7. بالتحقق: 9+(-7)=2 و 1+2(-7)=-13. بما أن قيمة t واحدة تحقق المركبات الثلاث، فالنقطة تقع على المستقيم.

س: أجد ناتج الضرب القياسي للمتجهين v=5 i+4 j+8 k و w=4 i+3 j-4 k، ثم أحدد العلاقة بينهما.

ج: v× w=5(4)+4(3)+8(-4)=20+12-32=0. بما أن الضرب القياسي يساوي صفراً، فالمتجهان متعامدان.

س: أجد ناتج الضرب القياسي للمتجهين u=5 i-4 j+3 k و v=7 i+6 j-2 k.

ج: u× v=5(7)+(-4)(6)+3(-2)=35-24-6=5.

س: أجد ناتج الضرب القياسي للمتجهين u=4 i-8 j-3 k و v=12 i+9 j-8 k.

ج: u× v=4(12)+(-8)(9)+(-3)(-8)=48-72+24=0، إذن المتجهان متعامدان.

س: سُحبت 4 كرات على التوالي من صندوق من دون إرجاع، ثم كُتب عدد الكرات الحمراء. هل تمثل تجربة احتمالية هندسية؟

ج: لا. السحب من دون إرجاع يجعل المحاولات غير مستقلة ويتغير احتمال النجاح بعد كل سحبة، كما أن التجربة لا تتوقف عند أول نجاح بل عند عدد محدد من السحبات.

س: هل إلقاء قطعتي نقد منتظمتين ومتمايزتين حتى ظهور صورتين يمثل تجربة احتمالية ذات حدين؟

ج: لا؛ لأن عدد المحاولات غير محدد مسبقاً، فالتجربة تستمر حتى ظهور صورتين. هذا يخالف شرط وجود عدد محدد من المحاولات في ذي الحدين.

س: اختير 7 طلبة عشوائياً من صف فيه 15 ولداً و 10 بنات، ثم كُتب عدد البنات المختارات. هل هذه تجربة ذات حدين؟

ج: لا بالصيغة المدرسية للتوزيع ذي الحدين؛ لأن الاختيار من دون إرجاع يجعل المحاولات غير مستقلة ويتغير احتمال اختيار بنت بعد كل اختيار.

س: أذكر أربع خصائص أساسية للمنحنى الطبيعي كما في الدرس.

ج: من خصائصه: منحنى متصل على شكل الجرس، الوسط الحسابي والوسيط والمنوال متطابقة، البيانات متماثلة حول الوسط الحسابي، طرفاه يقتربان من المحور الأفقي دون لمسه، والمساحة الكلية أسفله تساوي 1.

س: إذا كان X N(7,0.12) يمثل طول قطر برغي بالملم، فأجد P(X>7) و P(6.9<X<7.1) باستعمال القاعدة التجريبية.

ج: بما أن =7 فالتماثل يعطي P(X>7)=0.5. والفترة 6.9<X<7.1 هي -<X<+ لأن =0.1، لذا احتمالها تقريباً 0.68.

س: إذا كان X N(30,0.42) يمثل طول قطر رأس مثقب، فأجد:أ. P(X>30)ب. P(29.6<X<30.4)ج. P(29.2<X<30)د. P(29.2<X<30.4)

ج: =30,=0.4.أ. P(X>30)=0.5.ب. من - إلى + يساوي 0.68.ج. من -2 إلى يساوي 0.475.د. من -2 إلى + يساوي 0.475+0.34=0.815.